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A. Liapounoff. 
6. Considérons l’ensemble des T ls , en excluant T 00) T i0 et encore, si q < 1, T 23 . 
D’après ce que nous venons de voir, on ne pourra arriver à de nouvelles figures d’équi¬ 
libre que si au moins une de ces quantités est égale à zéro. Voyons donc lesquelles de ces 
quantités peuvent s’annuler. 
Dans le Mémoire Sur la stabilité des figures ellipsoidales , j’ai montré que, dans le cas 
de q < 1, ce sont seulement celles, pour lesquelles s = 21 et l > 2, qui peuvent s’annuler, et 
que d’ailleurs, si une quelconque des quantités T x ol s’annule, toutes les autres sont différentes 
de zéro, car on a _ _ 
T <" T 
М 1)ІІ ^ 2І-І-2 * 
D’autre part, j’ai montré que chacune des quantités T l2l pour lesquelles l > 2 s’annule 
effectivement pour une certaine couple de valeurs de p et q satisfaisant à l’équation 
^2,3 = O* 
En ce qui concerne le nombre des couples (p, q) annulant T^ 2l , je n’ai examiné la que¬ 
stion que dans les cas de l = 3 et de l suffisamment grand. Dans ces cas, il n’y a qu 'une 
seule pareille couple et, par suite, il n’y a qu’un seul ellipsoïde de Jacobi pour lequel T l2l 
s’annule. 
Dans le même Mémoire j’ai montré que, parmi les quantités T' ls , que l’on a à consi¬ 
dérer dans le cas de q — 1, outre T qui est toujours nulle, seulement celles peuvent 
s’annuler, pour lesquelles l — s est un nombre pair (y compris zéro), l étant supérieur à 1. 
D’ailleurs, l et s satisfaisant à cette condition, T' l t s’annule toujours pour une certaine valeur 
de p , et pour me seule. 
J’ai reconnu que deux des T' ls pour lesquels l > 1 ne peuvent s’annuler simultané¬ 
ment, Pour le prouver, j’ai parti d’un théorème de Linde manu, d’après lequel tanga: et x, 
sauf le cas de x = O, ne peuvent être simultanément des nombres algébriques. 
D’après cela, dans le cas des ellipsoïdes de Maclaurin, toutes les suppositions que 
l’on aura à considérer se réduisent à ce que, pour des valeurs données m, к de l , s, telles que 
m > 1, m — к = nombre pair, 
on a 
7 ,/ — о 
tous les autres T., sauf T', étant différents de zéro. 
Dans le cas des ellipsoïdes de Jacobi, on devra seulement examiner la supposition 
que, m étant un nombre donné supérieur à 2, on a 
T m otn = O, 
tous les autres T l s , sauf T, 0 et T 23 , étant différents de zéro. 
Arrêtons-nous d’abord au cas des ellipsoïdes de Maclaurin. 
