Sur un problème de Tchkbychef. 
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Pour déterminer les constantes a,, a 2 , a 3 , . . . , on se reportera aux conditions (12) 
et (13). 
On verra que la condition (13) sera toujours remplie d’elle-même, quel que soit n. 
Quant à la condition (12), elle sera remplie d’elle-même pour n = 1 et pour n — 2. 
Mais pour les autres valeurs de n ce ne sera plus le cas. 
En calculant l’intégrale qui figure au premier membre dans le cas de n — 3, on obtien¬ 
dra un résultat de la forme 
J ТГ.Р^совѲ) cos k ’^ d(J = ( Acc * ± a i> 
où A et B sont des constantes parfaitement déterminées, et où, comme précédemment, on doit 
prendre le signe supérieur, si vj > 0, et le signe inférieur, si r\ < 0. 
Pour B , on aura une expression analogue à celle que nous avons rencontrée dans le cas 
de к = 0, savoir 
ß __ 47t (w H- le) ! 1 ^ B'n,k 
2m + 1 (иг — к) ! V p dû 
Donc B ne sera jamais nul . 
Pour A, on aura une expression beaucoup plus compliquée que celle qu’on avait dans 
le cas de Je = 0. Mais, en partant du théorème de Lindemann, j’ai réussi à établir, ici 
encore, que A n'est jamais nul. 
Ainsi, la condition 
J ^3 p m ,/ £ ( c0se ) cos ^ = 0 
donne, pour déterminer oc x , une équation du troisième degré, dont une racine est égale à 
zéro et les deux autres sont données par l’équation 
(14) Аос г 2 zt B = 0 , 
et sont, par suite, différentes de zéro. 
En examinant la supposition = 0, on ne trouve qu’une figure ellipsoïdale. 
Quant à l’équation (14), elle conduira à une nouvelle figure d’équilibre, si on la prend 
avec un signe convenable, qui doit être opposé à celui du rapport 
Arrêtons-nous à uue quelconque des deux valeurs de oc, données par cette équation, qui 
sont égales et de signes contraires. 
Pour déterminer a 2 , on considérera la condition (12) dans la supposition' n = 4, et 
l’on verra que cette condition donuera une équation de la forme 
(3^4aj 2 ± B) oc 2 = quantité connue. 
