24 A. Liapounoff. 
Si, pour satisfaire à la condition (15) dans le cas de n = 2, on s’arrête à la supposition 
= O, on ne trouvera rien que des figures ellipsoïdales. 
Si, au contraire, on pose 
Acc 1 dr B — 0 , 
on aura, pour tous les autres a f , des valeurs encore parfaitement déterminées, et l’on obtien¬ 
dra ainsi une suite déterminée des qui définira une nouvelle figure d’équilibre. 
En examinant ensuite les hypothèses où A > 1, on ne trouvera rien de nouveau. 
On voit que, dans le cas considéré, le problème est possible , quel que soit le signe cle y). 
Pour ce qui concerne le calcul des 'Ç. et leur forme, je renverrai au n° 13. 
il. Supposons maintenant que m soit un nombre impair. 
Dans ce cas, l’hypothèse A = 1 ne conduira qu’à des figures ellipsoïdales. On commen¬ 
cera donc par l’hypothèse \= 2. 
Alors on aura 
‘С, = oqT 
et, pour les autres , 
= a « T ?<• 
Dans ces formules, % est douué, comme précédemment, par la formule (16),^ , a 2 , a 3 ,. . . 
sont des constantes inconnues et <p f est une fonction de p. et v qui dépend de oq, a 2 , . . ., ос._ г 
et ne contient, outre cela, rien d’inconnu. 
Pour déterminer les constantes a,, a 2 ,. . ., on se reportera à la condition (15). 
Pour n = 1 et pour n = 2, cette condition sera remplie d’elle-même. 
En passant ensuite au cas de n — 3, on aura 
f W S Е т,гт( Ѵ ) d ° = ( A ^ ± B ) a i , 
A, B étant des constantes parfaitement déterminées, et les signes correspondant, le supé¬ 
rieur, au cas de y] > 0, l’inférieur, au cas de vj < 0. 
Pour B , on a, ici encore, l’expression (17). Quant à A, on obtient une expression 
beaucoup plus compliquée que dans le cas de m pair. Je n’ai discuté cette expression que 
dans le cas le plus simple, celui de m= 3, et j’ai reconnu que A est alors différent de zéro. 
Dans le même cas, B est aussi différent de zéro, comme cela résulte de ce que j’ai montré 
dans le Mémoire Sur la stabilité des figures ellipsoïdales. 
Supposons que, pour la valeur considérée de m, ni A, ni B ne sont nuis. 
Alors on se trouvera dans des conditions analogues à celles qu’on avait dans le cas des 
ellipsoïdes de révolution pour lesquels 
K* = 0 , 
к > 0 . 
