Sur un problème de Tchebychef. 
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En s’arrêtant à la supposition u 1 = 0, on ne trouvera rien que des ellipsoïdes. Quant à 
une autre supposition possible, savoir 
A a, 2 ±5 = 0, 
où l’on devra prendre un signe convenable, on aura deux valeurs de cq, ne différant que par 
le signe, et, pour chacune de ces valeurs, on trouvera des valeurs parfaitement déterminées 
pour tous les autres oq.. On aura ainsi deux suites déterminées des Ç. qui conduiront à une 
seule et même figure d’équilibre placée dans deux positions différentes: pour passer de l’une 
de ces positions à l’autre, on n’aura qu’à tourner cette figure autour de l’axe des z de 
l’angle y. 
En passant ensuite aux hypothèses où \ > 2, on n’obtiendra rien de nouveau. 
Dans le cas considéré, le problème ne sera possible que si r\ a un signe convenable. Ce 
signe doit être opposé à celui du rapport ~. 
Pour ce qui concerne la forme des et leur calcul, nous renverrons au n° 13. 
12. Par ce qui vient d’être dit, on voit que la question se réduit principalement à 
l’étude de certaines constantes, pour reconnaître si elles sont ou ne sont pas nulles. Dans 
tous les cas où l’on parvient à établir que ces constantes ne sont pas nulles, on pourra faire 
les conclusions qui viennent d’être indiquées. Dans d’autres cas, on ne pourra rien dire. 
Pour ce qui concerne les ellipsoïdes de Maclaurin, j’ai établi que les constantes dont il 
s’agit ne sont jamais nulles. Mais j’ai dû, à cet effet, me servir du théorème de Lindemann. 
Dans le cas des ellipsoïdes de Jacobi, ce théorème n’est plus applicable, et l’on ne 
sait aucun autre théorème analogue qui puisse jouer ici le même rôle. Cependant les expres¬ 
sions de ces constantes, et surtout celle de A pour m impair, sont très compliquées et, bien 
que je les aie obtenues, dans tous les cas, sous une forme finie et même algébrique par rap¬ 
port à p et q, elles ne conduisent à aucune conclusion immédiate. J’ai dû donc me borner à 
la considération de certains cas particuliers. 
J’ai déjà dit que la constante B dans le cas de ro=3 est différente de zéro. J’ai 
établi que la même chose a aussi lieu, dès que m dépasse une certaine limite. Dans tous ces 
cas, B est un nombre négatif. 
En ce qui concerne A, on doit distinguer les deux expressions, très différentes, qu’on 
trouve pour cette constante dans le cas de m pair et dans le cas de m impair. Celle qui se 
rapporte au cas de m pair n’a été examinée que pour de grandes valeurs de m , et j’ai re¬ 
connu qu’elle ne peut être nulle, dès que m dépasse une certaine limite. Quant à l’expression 
qui se rapporte au cas de m impair, et qui est extrêmement compliquée, je ne l’ai examinée, 
comme il a été déjà dit, que pour m — 3. Dans ce cas, c’est un nombre positif. 
Ainsi l’on voit que les conclusions relatives au cas des ellipsoïdes de Jacobi sont beau¬ 
coup moins complètes que celles que j’ai obtenues pour les ellipsoïdes de Maclaurin. 
