Sur un problème de Tchebychef. 
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En ce qui concerne la forme des fonctions , ce seront, sous les conditions complémen¬ 
taires admises, des fonctions uniformes des deux arguments 
cos G et sin G cos ф , 
toujours paires par rapport au premier et paires ou impaires, suivant les cas, par rapport 
au second. 
Dans le cas des ellipsoïdes de Jacobi lorsqu’on a 
T = 0 
m ,2 m ’ 
(les constantes A et B n’étant pas nulles), ce seront des fonctions paires ou impaires par 
rapport à sin G cos^, suivant que nm est pair ou impair. Donc, si m est un nombre pair, 
tous les Ç n seront des fonctions paires de cos Ѳ et sin G cos ф. 
Dans le cas des ellipsoïdes de Maclaurin, lorsqu’on a 
T m ,k = Oj 
les X, n seront des fonctions entières de degré n de 
sin* G сов&ф, 
paires ou impaires, suivant que n est pair ou impair, et ayant pour coefficients des fonctions 
paires de cos Ѳ. 
Mais ce qui est surtout à observer, c’est que les fonctions sont, à ce qu’il paraît, 
susceptibles d’être présentées, dans tous les cas, sous une forme finie , c.-à d. sans l’emploi 
des séries infinies. 
En ce qui concerne , cela est évident: cette fonction s’obtient immédiatement sous 
une forme finie. 
En passant ensuite au calcul de l 2 , on obtient d’abord, pour le produit H'C 2 , une ex¬ 
pression sous forme d’une série infinie. Mais l’examen de cette série permet de remarquer 
qu’elle peut être sommée , ce qui donne pour Щ 2 et, par suite, pour Ç 3 une expression sous 
une forme finie. 
J’ai calculé encore Ç 3 , et je suis parvenu à la même conclusion. 
Les expressions que l’on obtient de cette manière pour '(j, ‘( 2 , ‘( 3 sont renfermées dans 
cette formule 
Y _ Ф», 
Si ii n ’ 
où Ф , dans tous les cas, est une fonction entière de cosO et sinO cos'|, paire par rapport 
à cos G et paire ou impaire par rapport à sinO cos^, suivant les cas. Quant au degré de 
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