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A. Liapounoff. 
cette fonction, il est toujours égal à nm, en supposant que l’ellipsoïde considéré (à deux ou 
à trois axes inégaux) est caractérisé par l’équation 
J’ajouterai que les coefficients de la fonction Ф п sont exprimables algébriquement par p et q. 
Je n’ai discuté que les cas de n — 1, n = 2 et n — 3. Mais la manière même dont 
j’ai obtenu les expressions précédentes pour les ‘( n dans les cas de n = 2 et de n = 3, ne me 
laisse aucun doute sur ce que la même chose aura lieu pour toutes les autres valeurs de n. 
Si cela est généralement vrai, le calcul de l n en fonction de 
cosO, sin6 cos^, p, q, 
quelque grand que soit n, n’exigera que des opérations algébriques. 
14. Pour achever l’étude de la question, il faut encore justifier les suppositions qui ont 
été introduites dès le début pour pouvoir aborder le problème. Il faut donc montrer que, 
pour les fonctions Ç n qui viennent d’être définies, on peut réellement trouver les trois suites 
de nombres l n , g n , h n dont il a été parlé au n° 3. 
En examinant cette question, je l’ai résolue aussi, dans tous les cas où les constantes 
A et B ne sont pas nulles. J’ai reconnu, en effet, que l’on peut former trois équations algé¬ 
briques en 7, g : h , x qui soient satisfaites en posant 
l = g =z h = x = 0, 
et qui soient telles que les valeurs de l, g , h, définies par ces équations comme fonctions de x 
s’annulant pour x = 0, soient susceptibles, pour des valeurs assez petites de x, d’être déve¬ 
loppées en des séries de puissances 
l - f X H— 7g x 2 — I— 7 3 X 3 —I— . . . , 
9 = 9i* 0 2 * 2 £s* 3 -+- • • • » 
h = ÙjX -4- 7* 2 X 2 -4- h a x s -+- 
J 
dont les coefficients, représentant des nombres positifs, vérifient les inégalités 
L I < L 
àln 
dO 
< 9 n . 
J_ d An 
sin Ѳ дф 
<К . 
quels que soient 0 et ф. 
De cette manière j’ai établi, en toute rigueur, l’existence de nouvelles figures d’équi¬ 
libre pour des valeurs assez petites de | yj |, dans tous les cas où certaines constantes A et B 
ne sont pas nulles. 
