Sur un problème de Tchebychef. 
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Je vais à présent caractériser ces figures d’équilibre. 
lout d abord, pour toute valeur du nombre pair m supérieur à 2, on trouve une et 
une seule valeur de p satisfaisant à l’équation 
qui donne un ellipsoïde de Maclaurin par lequel on peut passer à une nouvelle série de 
figures d’équilibre, qui sont de révolution. Toutes ces figures admettent un plan de symétrie 
perpendiculaire à Taxe de révolution qui est celui de rotation du liquide. 
A cette série on peut passer tant en augmentant la vitesse angulaire qu’en di¬ 
minuant. 
Puis, pour toute couple de valeurs de m et к qui satisfont aux conditions 
m — к = nombre pair, m > 2, к > 0, 
on trouve une et une seule valeur de p vérifiant l’équation 
T' — O 
qui définit un ellipsoïde de Maclaurin par lequel on peut passer à une nouvelle série de 
figures d’équilibre. Ces figures admettent к plans de symétrie passant par l’axe de rotation 
et un plan de symétrie perpendiculaire à cet axe. Elles sont d’ailleurs telles que, après qu’on 
les tourne autour de cet axe, de l’angle y, elles se superposent en tous les points. 
A cette série on ne peut passer qu’en donnant à la vitesse angulaire un accroissement 
de signe convenable. Par exemple, à la série qu’on trouve dans le cas de m — k = 3 on ne 
peut passer qu 'en diminuant la vitesse angulaire. 
Enfin, pour toute valeur de m supérieure à 2, on trouve, au moins, une couple de va¬ 
leurs de p et q satisfaisant aux équations 
T 
m,2 m 
qui définissent un ellipsoïde de Jacobi par lequel on peut passer à une nouvelle série de 
figures d’équilibre, si certaines constantes A et Б ne sont pas nulles. Tels sont les cas de 
т—Ъ et de m pair et suffisamment grand. Dans ces cas, il n’y a d’ailleurs qu’une seule 
couple de nombres p et q vérifiant les équations ci-dessus. 
Si m est un nombre pair, les nouvelles figures d’équilibre admettent trois plans de 
symétrie, dont deux passent par l’axe de rotation et le troisième lui est perpendiculaire. 
A cette série de figures on peut passer tant en augmentant la vitesse angulaire, qu’en 
diminuant. 
