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A. Liapounoff. 
Si au contraire m est un nombre impair, les nouvelles figures n’admettent que deux 
plans de symétrie, dont Tun passe par l’axe de rotation, l’autre lui est perpendiculaire*). 
A la série de ces figures d’équilibre on ne peut passer qu’en donnant à la vitesse angu¬ 
laire un accroissement de signe convenable. Par exemple, à la série qu’on obtient dans le 
cas de m = 3 on ne peut passer qu’ew augmentant la vitesse angulaire. 
ІЭ. Les figures de la série qui vient d’être indiquée, et à laquelle on peut passer par 
l’ellipsoïde de Jacobi défini par l’équation 
(18) = 0, 
sont précisément celles que M. Poincaré et M. Darwin appellent les figures pyriformes. 
M. Darwin, dans le Mémoire The stability of the pear-shaped figure of equïlïbrium 
{Phil. Trans., A, vol. 200), arrive à la conclusion que ces figures, pour des valeurs assez 
petites de | rj |, sont stables. Mes calculs conduisent à une conclusion différente. 
Je vais entrer à ce sujet en quelques détails. 
J’ai déjà dit que pour l’ellipsoïde de Jacobi défini par l’équation (18) on a 
A > О, B < 0. 
La dernière inégalité résulte immédiatement de ce qui a été montré dans mon Mémoire 
Sur la stabilité des figures ellipsoidales. Quant à la première, j’y suis arrivé au moyen des 
calculs numériques très compliqués. 
A cet effet, j’ai parti des nombres que j’ai trouvés dans le Mémoire cité, où j’ai cal¬ 
culé les rapports des carrés des axes pour l’ellipsoïde considéré. 
Avec les notations actuelles, le résultat que j’y ai trouvé s’exprime ainsi: 
0.637 < ^ < 0,638, 
0,119 <^<0,120. 
En partant de ces inégalités, j’ai cherché une limite supérieure et une limite inférieure 
pour A , et après d’assez longs calculs j’ai obtenu, pour les deux limites, des nombres 
positifs. 
C’est ainsi que je suis arrivé à l’inégalité A > 0 d’oû j’ai conclu que, pour passer aux 
figures pyriformes, on doit prendre r\ > 0 {voir le n° 11). 
*) U est à remarquer que toutes ces propriétés de symétrie ont été prévues par M. Poincaré, qui les a 
déduites, dans le Mémoire des Acta Mathematica, de la considération de la première approximation. 
