ВЪ СВЯЗИ СЪ РАСШИРЕНІЕМЪ ПОНЯТІЯ ОБЪ ИЗОТРОПНЫХЪ ПУЧКАХЪ ЛУЧЕЙ. 7 
ность новаго круга въ точкѣ, находящейся на перпендикулярѣ, возстановленномъ изъ центра 
этого круга къ линіи центровъ 1 ); наконецъ, отсюда слѣдуетъ, что точки с 2 , о , с/, о обра¬ 
зуютъ гармоническое дѣленіе, то-есть пучекъ А. с 2 ос 2 о есть пучекъ гармоническій, и что 
углы с 2 Ао и с 2 Ао равны между собою, такъ какъ каждый изъ нихъ равенъ 2а -н ß —а, 
или, что все равно, 2ß — (ß —а), то есть a-bß = Y* Наконецъ, прямая АО" (или А'О"), 
перпендикулярная къ АО', встрѣтитъ линію центровъ въ центрѣ О" новаго круга. 
Съ другой стороны, не трудно доказать, что точка о' есть въ то же время центръ 
обратнаго подобія круговъ даннаго и ему обратнаго. 
Это прямо слѣдуетъ изъ того же равенства 1). 
Если яге о' есть центръ обратнаго подобія этихъ двухъ круговъ, то гармонически 
сопряженная съ нею точка о на линіи центровъ есть центръ прямого подобія тѣхъ яге 
круговъ; а потому, если проведемъ къ этимъ кругамъ общую касательную, то она встрѣ¬ 
титъ линію центровъ въ центрѣ прямого подобія о, то-есть концѣ діаметра круга, обрат¬ 
наго кругу проэктивности. 
Сказаннымъ исчерпывается доказательство приведенныхъ теоремъ и раскрывается 
замѣчательная связь между пятью кругами: главнымъ, даннымъ и ему обратнымъ и кру¬ 
гомъ проэктивности и ему обратнымъ. Но эта связь не есть связь, замыкающаяся сама 
въ себѣ, подобно тому, какъ это имѣетъ мѣсто по отношенію къ каягдой парѣ круговъ, 
находящихся въ перспективномъ отношеніи. 
Изъ даннаго и ему обратнаго круга мы вывели опредѣленною операціей кругъ про¬ 
эктивности и ему обратный. Но если за данный кругъ мы примемъ кругъ проэктивный и 
выведемъ сначала кругъ ему обратный, а затѣмъ круги проэктивный и обратный послѣд¬ 
нему, то два послѣдніе круга уже не будутъ тождественными съ кругами, данными перво¬ 
начально, а получатся пары круговъ совсѣмъ новыя. 
Отсюда слѣдуетъ, что эту операцію полученія новыхъ паръ круговъ мы можемъ 
продолжать неопредѣленно и получать неопредѣленное число новыхъ паръ круговъ все 
того же безконечнаго ряда круговъ, изъ которыхъ никакіе три не имѣютъ общихъ каса¬ 
тельныхъ круговъ, а потому цѣлесообразно могущаго быть названнымъ атангентнымъ. 
Мы можемъ охарактеризовать одинъ изъ данныхъ круговъ угломъ а, и тогда всѣ 
остальные круги выведутся сами собою. Сначала, кромѣ главнаго, мы получимъ четыре 
круга извѣстнаго намъ уже значенія; въ томъ числѣ кругъ проэктивности уже получитъ 
характеристику угломъ 2а (вмѣсто а); и если мы его снова примемъ за основной, то опять, 
кромѣ него и ему обратнаго, выведемъ еще новые два круга, изъ которыхъ кругъ проэк¬ 
тивности уже получитъ характеристику 4а и такъ далѣе. 
Если уголъ а несоизмѣримый по отношенію къ тс, то ясно, что мы получимъ безконечно 
большое число новыхъ круговъ атангентнаго ряда. Этому безконечному ряду круговъ соот¬ 
вѣтствуетъ также и пучекъ лучей съ безконечно большимъ числомъ членовъ. Но хотя число 
1) На чертежѣ вмѣсто прямой Л'с 2 ' проведена d"c' 2 . 
