8 Е. С. Федорова. Нов. особ, точки стереогр. пробе, въ связи съ расшир. пои. объ изотр. пуч. луч. 
членовъ и будетъ безконечно велико, но оно не исчерпаетъ всѣхъ возможныхъ круговъ 
атапгентнаго ряда или всѣхъ возможныхъ лучей одного пучка. 
Въ общемъ случаѣ такіе пучки не будутъ раціональными (кристаллографическими). 
Если бы такой пучекъ былъ кристаллографическимъ, то, такъ какъ онъ состоитъ изъ паръ 
взаимно перпендикулярныхъ лучей, онъ можетъ быть только изотропнымъ. Для этого же 
необходимо, чтобы квадратъ тангенса одного изъ угловъ пучка былъ раціональнымъ, и 
тогда получили бы раціональное значеніе и квадраты тангенсовъ всѣхъ остальныхъ угловъ 
пучка. 
И дѣйствительно, въ трудѣ «Syngonielehre», представленномъ мною въ К. Баварскую 
Академію Наукъ 1 ), приводится доказательство, что если даны два луча подъ угломъ а, ква¬ 
дратъ тангенса котораго раціоналенъ и слѣдовательно пучекъ относится къ изотропнымъ, 
то къ нему непремѣнно относятся всѣ лучи, образующіе между собою углы 2а, 4а, 8а... 
вообще 2 п а. 
Итакъ, кристаллографическіе изотропные пучки (то-есть плоскіе комплексы) пред¬ 
ставляютъ только частный случай тѣхъ возможныхъ пучковъ, которые воспроизводятся 
описанными здѣсь операціями. Но только эти пучки были бы не полными плоскими кри¬ 
сталлографическими комплексами, а лишь ихъ составными частями, которыя получили на¬ 
званіе субкомплексовъ (совокупности лучей, имѣющихъ равные параметры); и все-таки въ 
каждомъ изъ такихъ субкомплексовъ въ общемъ безконечное число членовъ, да и число 
самихъ субкомплексовъ въ комплексѣ также безконечно большое число. 
Однако, въ частномъ случаѣ, а именно когда уголъ а раціоналенъ, то есть соизмѣримъ 
съ угломъ 7г, субкомплексы состоятъ изъ ограниченнаго числа лучей. Такихъ случаевъ въ 
кристаллографическихъ комплексахъ всего два: субкомплексъ съ углами въ тетраго¬ 
нально-изотропномъ и субкомплексъ съ углами — въ гексагонально-изотропномъ комплексѣ. 
Въ общемъ изъ только что разсмотрѣнныхъ, ирраціональныхъ пучковъ, какъ видимъ, 
можетъ существовать безконечно большое число съ ограниченнымъ числомъ лучей, которые 
составятъ замыкающіеся въ себѣ циклы лучей. 
1) и печатающемся въ «Abhandlungen» этой Академіи за № XXIII. 
