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(XXXV)] SUR LEQÜATION DIFFERENTIELLE LAME-HERMITE. 
on trouve pour h (x) l’expression: 
h (x) = 2 cp f" -+- [4 (2 a -+- 3) x 2 -+- 8 bx-t- 8 c — (2a+ 1) g 2 \ f — 
— 2 [2 Je (2 n — 2 k -+-1) x -+- n (2 n — 1) p — (2 a — 1) b] f 
dans laquelle le coefficient de x *"*' 1 est nul; les coefficients de x k , x k ~ 1 ,...x 
donneront les valeurs de y,, y 2 . . . y k et le terme constant la valeur de \i.t. 
Les valeurs de y u y 2 . . . sont donnees par la relation: 
4 r (2n— 2 r -+- 1) y r -+- 2 \n(2n — 1) p — (2 n — 4r -+- 3) b] y r _ 1 -+- i 
-f- (Ä—-r+2) [(2w~ 2 & — r-+- 3) # 2 — 8 c] y r _ 3 -+-J. (5) 
-+- 2 (A: — r 2) (& — r -+- 3) g s y r _ 3 = 0 j 
dans laquelle r = 1, 2,.. fc v , et le terme constant conduit ä la valeur de 
2[n(2n — 1) p —(2a— 1) 6] y k ~+- [(2 a -+- 1) g 2 — 8 c] -+- 
! • --( 6 ) 
-*-4#3y /c _„ — — gt 
L’expression A (X) est du degre s en x, et le coefficient de x s est egal a: 
— 4 (2 s -+-1) («— s)(» + s + l) = — (3 w + «)(»+« — 1) (w — a -+■ #) 
or le coefficient de x s dans le second membre de l’equation (4) est egal ä: 
— 2 [x (3 k -+- 2 a) — — p. (3 % -+- «) 
l’on aura en eonsequence: 
p. = (n -+- a — 1) (n — <i + 2). 
Enfin les coefficients de x s ~\ x s ~ 2 ... x, x° dans la meme equation (4) 
donneront les valeurs des coefficients ß 1? ß 2 . . . ß ; et l’on aura pour r— 1, 
2, . . . s la relation: 
2 (2 s — 2 r -+- 1) (w -— s -f- r) ß + s — r 1) ß r -+- 
-+- 4 n (2 w — 1) (s — r —t— 1) p ß r _ l -+- 
-+- -^-(s — r -+- 2) (s — r h- 1) (2 s — 2 r-t- 3) g 2 ß r _ 2 
-+- (s — r 3) (s — r -+- 2) (s — r-*-l)g s ß r _ 3 = 
= (« + « — 1) (n — a + 2) M r 
••( 7 ) 
etant M r le coefficient de x s r dans l’expression 3 mf 1 + 2 m 1 /. 
Pour determiner la valeur de M r il faut distinguer quatre cas; deux 
pour n pair, et deux pour n impair. 
Melanges mathe’m. et astron. T. VII, p. 301. 
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