4 
Н. Я. СОНИНЪ, 
дѣлы значеній Функціи ф (ж), то, очевидно, можно принять: р = G и q — G, или р = g и 
q=g x и также P—G и Q=g x или Р=д и Q=G V Такимъ образомъ во второй части нера¬ 
венства (4) можно поставить наибольшую изъ двухъ отрицательныхъ величинъ: 
— {G — 1) ( G x - — ï]) Si ѳ 0*0 dx » — (5— 9) (Ч — 9і) Si 0 dx ' 
а во второй части неравенства (5) наименьшую изъ двухъ положительныхъ величинъ: 
(G — £) (ч — 9 ,) Sl 0 (я) dx, — g) (G — тг)) J® 0 (ж) dx. 
§ 3 . Въ различныхъ частныхъ предположеніяхъ относительно природы Функцій ср (ж) 
и ф (ж) можно получить бо.іѣе близкіе между собою предѣлы для величины выраженія 
( Ь Ѳ (х) ф (x)dx. S Û (х) с? (ж) dx 
Si 0 (ж) ф (ж) ср (ж) clx --- - ъ - 2 - 
a б [x)dx 
J a 
Напримѣръ, оно будетъ положительно, если можно принять р = <;, т. е. если можно 
такъ опредѣлить q, что при а < ж < Ъ будемъ имѣть: 
[ф(ж) — q] [?(ж) —0>О. 
Это условіе будетъ несомнѣнно выполнено, когда предположимъ, что ср (ж) — | только 
одинъ разъ мѣняетъ свой знакъ при нѣкоторомъ значеніи ж = с и что ф (ж) — ф (с -+- О) 
также только одинъ разъ мѣняетъ знакъ, измѣняясь въ области х = с въ туже сторону 
какъ Функція 9 (ж) — Это обстоятельство, очевидно, будетъ имѣть мѣсто, когда Функціи 
9 (ж) и ф (ж) будутъ обѣ возрастающія или обѣ убывающія въ промежуткѣ отъ а до Ъ, 
такъ что при этомъ предположеніи будемъ имѣть 
I Ь О (х) ф (х) dx. \ Ь 0 (х) 9 (ж) dx 
Si 0 (ж) ф (ж) 9 (ж) dx - 2 - y b —^-> 0. 
a f 6(as)d* 
J a 
Это неравенство представляетъ, какъ извѣстно, теорему П. Л. Чебышева, обнаро¬ 
дованную впервые во второмъ изданіи литографированнаго курса Эрмита съ доказатель¬ 
ствомъ Пикара. Съ тѣхъ поръ были предложены различныя доказательства, но только 
что изложенное *), отличаясь крайнею простотою, важно еще потому, что отводитъ этой 
теоремѣ надлежащее мѣсто въ интегральномъ исчисленіи, какъ слѣдствію первой теоремы 
*) Оно было изложено устно въ засѣданіи С.-Нетербургскаго Математическаго Общества 19 ноября 1897 г. 
