О НѢКОТОРЫХЪ НЕРАВЕНСТВАХЪ ОТНОСЯЩИХСЯ КЪ ОПРЕДѢЛЕННЫМЪ ИНТЕГРАЛАМЪ. 
5 
о средней величинѣ интеграла, и, кромѣ того, позволяетъ иногда замѣнить стоящій во вто¬ 
рой части нуль положительною величиною. 
Вь самомъ дѣлѣ, если Функціи ср (ж) и ф ( ж ) обѣ возрастающія или обѣ убывающія, 
то при всякомъ значеніи с будемъ имѣть 
[ф (ж) — Ф (с)] [ср (ж) — ср (с)] > О, 
гдѣ подъ ф (с) и ср (с) въ случаѣ разрыва можно понимать какія нибудь промежуточныя 
значенія. Въ силу этого неравенство (4) приметъ видъ: 
I \ Ѳ (æ) ф (х) dx . [ Ѳ {х) ф ( х ) dx 
( 6 ) • • J а Ѳ (*) Ф (®) ? (®) dx — ^ - —-± -> [ср (с) — £] [YJ - ф (с)] J ь 0 (ж) dx, 
6(x)dx а 
J а 
гдѣ, конечно, с нужно избрать такъ, чтобы вторая часть получала наибольшее значеніе. 
Если 9 (х) и ф (х) имѣютъ производныя, то с будетъ удовлетворять уравненію 
?'(с)[Ч — ф(с)Л = ♦'(«)[?(«)-5], 
въ силу котораго вторая часть неравенства (6) приметъ видъ: * 
L® (с) — 0 (ж) dx. 
Напримѣръ, при ф (ж) = (ж — а) 2 , ф (ж) = ж — а наибольшее значеніе множителя 
(с — а — £) [ï] — (с — а) 3 ] получится при 
с — а — 
£ -+- >'£ 2 Зт) 
и будетъ равно 
Ѵ'£ 2 -+-Зтг)-і-£ /'У^2 _ ь3т) _2^2 2 г , ез 0 ч T/F5 - 7, 
V-8-/ = 27 US Зуз) У| 2 -*- Зу) —9 Ç Y) —^ 3 ] ; 
поэтому изъ неравенства (6) получимъ 
Ѳ (х) (х — а ) 8 dx> ^ [(ё 2 -+- Зт)) Vg 2 Зт] h- \ y] £ s ] Ѳ (ж) dx, 
гдѣ 
Si 0 (ж) (x — a) dx = l Si Ѳ (ж) da?, J* Ѳ (ж) (ж— a) 2 с7ж=т] 0 (ж) dx. 
Высшимъ предѣломъ первой части неравенства (6) будетъ наименьшее изъ чиселъ 
[ф (6) — т)] U— ср (a)] Si Ѳ (®) dx, [yj — ф (а)] [ср (6) — g] Ѳ (ж) с?ж. 
