6 
Н. Я. СОНИНЪ, 
Если одна изъ Функцій 9 (ж), ф {х) возрастающая, а другая убывающая, то при вся¬ 
комъ значеніи с будемъ имѣть: 
[ф (я) — Ф (с)] [? («) — ? (с)] ± О, 
а потому неравенство (5) приметъ видъ: 
f b 0 (х) ф (x)dx. ( Ь 0 {х) tf {х) dx 
Ja * а 
( 7 ). . 0 (гг) ф (ж) (x)dx- 
сЬ 
f 0 (ж) 
J а 
dx 
< [9 (с) — I] [чг) — Ф (с)] J a ѳ (х) dx, 
гдѣ наименьшее значеніе второй части будетъ отрицательно. 
§ 4 . Другое предположеніе, при которомъ могутъ быть сближены найденные въ концѣ 
§ 2 предѣлы, состоитъ въ равенствѣ ф (х) = 9 (х), когда т) = £ и равенство (о) прини¬ 
маетъ видъ: 
Г ь Ѳ (ж) 9 (х) 2 dx — ° f У {Х) dX ~ = J^0(®)[9(*)“H [9(®)— a]da;-4-(a—Q(g—ß) $ b J(x)dx. 
J (t г \ -m 
f 0 (x) dx 
J n 
При ß = а отсюда находимъ 
(Г 6 {х) ф (x) dx) 2 
a 
j'„ 0 (x) 9 {xf dx ■ 
Г Ѳ (x) dx 
J a 
= 5І , rj ( ж ) [? ( ж ) — a ] 2 — ( a —J « ѳ ( ж ) dx 
и видимъ, что первая часть представляетъ наименьшее значеніе интеграла 
/!>(*)[?(*)-«№ 
которое онъ получаетъ при а = Ç, какъ это, впрочемъ, слѣдуетъ и изъ опредѣленія £ 
уравненіемъ 
si ѳ (*)[?(*)- а <*®=о. 
Этотъ интегралъ, а слѣдовательно, и его наименьшее значеніе положительны. Поэтому 
мы получимъ такое двойное неравенство: 
(В). 
, (Г 0 (х) 9 (x) dxf -, 
О < Ѳ (х) 9 {xf dx -—— i - -<{G — l){l — g)y a b{x)dx. 
I b(x)dx 
J а 
