7 
О НѢКОТОРЫХЪ НЕРАВЕНСТВАХЪ, ОТНОСЯЩИХСЯ КЪ ОПРЕДѢЛЕННЫМЪ ИНТЕГРАЛАМЪ. 
По } множеніи на / а 0 (я) dx и введеніи интегральнаго выраженія этому неравен¬ 
ству можно дать видъ: 
< 9 ) • °< fl в (*)<& (*)?(*)“</*- (J^(*) 9 (*)<fe)><J» 6(ж) [<?-* (ж)]йж ./в (ж) ft, (ж)-<,]<іж. 
Если положимъ 0 (ж) — ф (ж) 3 , ф ( ж ) ф (ж) — а (ж), то отсюда получимъ неравенство 
Si ф (xfdx . /2 <т (ж) 3 ЙЖ — (J* ф (Ж) ff (ж) йж) 3 > О, 
которое было выведено В. Я. Буняковскимъ *) въ 1859 году изъ неравенства 
(а* ч-а^ч-. . .+ й;) ( Ь^ч-Ъ^ч -. . .-*-6 2 n ) > (a t ^ -+- а 2 & 2 -*-. . .ч-я п & п ) 2 . 
При 9 (ж) = ж и неравенство (9) даетъ между прочимъ: 
/*0(ж)йж. Ѳ (ж)ж 2 “ йж > (j^ Ѳ (ж)ж” (2ж) 8 . 
При четномъ w этотъ результатъ получается непосредственно изъ неравенства Чебы¬ 
шева только въ предположеніи, что а и Ъ имѣютъ одинаковый знакъ. 
§ 5 . Если Функція 9 (х) сохраняетъ положительный знакъ при а < х < Ь, то въ (9) 
можно замѣнить Функцію 6 (х) отношеніемъ ^ и такимъ образомъ получимъ 
0 < I W ' I’ 6 * ® dx - (( 0 (*) dx ) < f“ « (*) [і| - !] dx • Jj> (*) 
Замѣняя же здѣсь просто Функціей 9 (х) и замѣчая, что высшій и низшій пре¬ 
дѣлы значеній этой послѣдней Функціи будутъ ~ и ~ (мы ихъ обозначимъ но прежнему 
G и д), превратимъ полученное неравенство въ слѣдующее: 
(і°). 0<jj)(z)9 ix)dx-\^^ — (\b(x)dxy<: fo (x) [^- l^dx-f 0 (X) [ 1 — dx. 
Неравенства этого параграфа, очевидно, сохраняютъ свою силу и при отрицательной 
функціи 9 ( х ). 
*) Sur quelques inégalités concernant les intégrales ordinaires et les intégrales aux différences finies. Mém. 
de l’Acad. de St. Pétersbourg VII -е série, t. I, № 9. 
