26 
Н. Я. СОНИНЪ, 
слѣдуетъ, что вообще 
j b a Ѳ (ж) Ф (ж) Ф п (ж) dx = О, 
если подъ Ф (х) понимается произвольный полиномъ, степень котораго не выше п —1. Это 
равенство, какъ извѣстно, приводитъ къ заключенію, что полиномъ Ф п (ж) имѣетъ п различ¬ 
ныхъ между собою корней, лежащихъ между а и Ъ. 
Функція 
(О (ж) = ср (ж) — H - \ Фі (*)- • • • — \-1 ф п - 1 ( Ж ) — iiï ф п ( Х )> 
гдѣ а имѣетъ произвольное постоянное значеніе, обладаетъ интегральными свойствами: 
О (ж) со (ж) dx = 0, j b (f 0 (ж) о (ж) Ф /с (x)dx = О, к—1,2,. . . п —1, 
ибо именно при посредствѣ этихъ уравненій опредѣляются постоянныя £, \ , . . . \_ г 
Отсюда слѣдуетъ, что и 
f a G (ж) « (ж) Ф (ж) dx — О, 
гдѣ Ф (ж) представляетъ произвольный полиномъ, степень котораго не выше п —1. Это 
уравненіе приводитъ къ заключенію, что Функція о (ж) мѣняетъ знакъ по крайней мѣрѣ 
при п 'различныхъ значеніяхъ ж между предѣлами а, и Ъ. Отсюда слѣдуетъ при 0, что 
производная 
d n 1 о) (х) _ <1 п 1 ср (х) 
dx n 1 
dx n ~ 
- К -l ( w - x ) ! 
по крайней мѣрѣ одинъ разъ мѣняетъ знакъ между предѣлами а и Ь, или, другими словами, 
„ ä n — 1ф(*) 
(п —1)! содержится между высшимъ и низшимъ предѣломъ значеніи dx n—\- ' 
Если ср (ж) представляетъ Функцію, имѣющую опредѣленную конечную производную 
м-го порядка, то будемъ имѣть 
d n (ù (х) d n <р (х) 
dx n dx 1 ' ’ 
избирая а внѣ предѣловъ, въ которыхъ заключены значенія w -ой производной Функціи ср (ж) 
мы достигнемъ того, что w -ая производная функція со (ж) не будетъ мѣнять знака при измѣ¬ 
неніи ж отъ а до Ъ : въ этомъ случаѣ Функція о (ж) будетъ имѣть точно п различныхъ между 
