О НѢКОТОРЫХЪ НЕРАВЕНСТВАХЪ, ОТНОСЯЩИХСЯ КЪ ОПРЕДѢЛЕННЫМЪ ИНТЕГРАЛАМЪ. 
43 
Если обозначимъ черезъ S и s высшій и низшій предѣлы значеній черезъ S'jHs, 
высшій и низшій предѣлы значеній то на основаніи Формулы (40) заключимъ, что 
Ці будетъ болѣе наибольшей изъ двухъ отрицательныхъ величинъ 
О (ж) Ф п (ж ) 2 dx, 
( л «—^г)(^— si) £<>0)4 \(xfdx 
и менѣе наименьшей изъ двухъ положительныхъ величинъ 
- §і] (г„- й) £« (*) ф „ (*)**! — (Х„—д) ()>•„—^і) £ в (*) 4>„ О) 2 dx. 
тт • d n ф (х) d n ф ( х ) 
При частныхъ предположеніяхъ относительно производныхъ dxT \ ' и —^г эти пре¬ 
дѣлы Q n могутъ быть сближены. 
Пусть, напримѣръ, d и представляютъ монотонныя Функціи. Если онѣ обѣ 
возрастающія или обѣ убывающія, то низшимъ предѣломъ О п можно взять пуль. Въ самомъ 
дѣлѣ, полагая въ этомъ случаѣ ~ = Х п , мы увидимъ, что Функція 
Ф № — S — \ Фі ( х ) — • • •— \ ф п ( ж ) 
будетъ имѣть п ч- 1 различныхъ между собою корней въ промежуткѣ отъ а до Ъ, ибо 
|' Ь Ѳ (ж) [sp (ж) — l — \ Ф, (ж) — . . \ Ф п (ж)] Ф /{ (ж) dx = 0, Тс = 0, 1 . . .п 
J a 
а слѣдовательно и 
f b 6 (ж) [ф (ж) — \ — \ Ф г (ж) — . . > п Ф п (ж)] Ф (ж) dx = О, 
3 а 
гдѣ Ф (ж) представляетъ произвольный полиномъ w -ой степени; болѣе же п -+- 1 корней эта 
«пункція имѣть не можетъ, такъ какъ ея производная w-ro порядка —jjr — Х п п\ только 
одинъ разъ мѣняетъ знакъ. Мы можемъ теперь избрать постоянныя у), [х ѵ . . . (А п _ г , ß 
такъ, чтобы Функція 
ф («) — V - ІЧ Ф 1 (Я) — • • •— Hn-x Ф„_! (ж) — 
G* 
