Эілпптическими интегралами называются интегралы, подъинтегральвая Функція ко¬ 
торыхъ есть раціональная Функція отъ перемѣнной гг и корня квадратнаго изъ полинома 
третьей или четвертой степени отъ гг. При рѣшеніи тѣхъ вопросовъ ректификаціи кривыхъ 
(эллипсиса, гиперболы, лемнискаты, кубической параболы, параболической спирали), въ ко¬ 
торыхъ въ первый разъ встрѣтились Бернулли, Фаньяно и др. математикамъ конца 
XVII и начала XVIII столѣтія эллиптическіе интегралы, въ интегралахъ этихъ подъ зна¬ 
комъ корня входилъ большею частью поливомъ четвертой степени. Эйлеръ и Лежандръ 
изучали поэтому эллиптическіе интегралы въ этой Формѣ и сводили къ нимъ случаи поли¬ 
нома третьей степени тѣмъ болѣе, что при принятой ими Формѣ ближе была видна аналогія 
между дугами эллипсиса и гиперболы ■) и дугами круга. Абель и Якоои, введя въ ана¬ 
лизъ функціи, обратныя эллиптическимъ интеграламъ, исходили изъ той-же Формы. Только 
значительно позже Эйзенштейнъ и Эрмитъ обратили вниманіе на эллиптическій инте¬ 
гралъ съ полиномомъ третьей степени подъ знакомъ радикала и привели этотъ полиномъ 
къ упрощенной Формѣ (безъ члена съ квадратомъ *). Съ самаго начала своихъ изслѣдо¬ 
ваній по теоріи гиперэллиптическихъ интеграловъ Вейерштрассъ разсматриваетъ подъ 
знакомъ квадратнаго корня полипомъ нечетной степени и въ этомъ ~ 
ваетъ что обратныя Функціи, опредѣленныя извѣстною системою уравненія Яко , У 
корни одного и того-же алгебраическаго уравненія, коеФФИЦІенты котораго суть сходящіяся 
1 всѣхъ значеній перемѣнныхъ степенныя строки •). На возможность выразить эллип- 
Гчесгія функціи частными двухъ строкъ, сходящихся для всѣхъ значеніи перемѣннаго 
аргумента, у которыхъ коеФФИЦІенты суть притомъ цѣлыя Функціи отъ модуля, указа 
еще Абель •), но Вейерштрассу, какъ говоритъ справедливо Эрмитъ въ своемъ 
извѣстномъ приложеніи къ учебнику анализа Лакруа, «принадлежитъ честь ввести въ пауку 
глубокуіо теорію, приводящую прямымъ путемъ къ этимъ новымъ Функціямъ, притомъ не 
- ЦВъяюгота «ъ „ену.рахъ Эйлера, посященныгъ „™,ееки„. интегралаиъ, она ноеятъ 
‘“““в) -п- “ Брауесбергской гииназіи за 1843-3 г. 
перепечатанъ въ Werke Bd. I. S. 111_131 - introduction 8 10. Также Lettre à M. Legeudre (Yol. II de 
3) Précis d’une théorie des fonctions elliptiques, introduction g xu. 
l’édition de 1839 p. 259). ± 
Записки Физ.-Мат. Отд. 
