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A. Liapounoff. 
n croissant indéfiniment, est exacte dans des conditions bien générales. D’ailleurs, dans les 
Comptes rendus (21 janvier 1901), j’ai signalé ensuite la possibilité de certaines généralisa¬ 
tions ultérieures. 
Or, dans ces généralisations, on peut aller plus loin encore, et maintenant je présente, 
sur le même sujet, un nouveau Mémoire, où je donne l’exposition des résultats que j’ai 
obtenus depuis. 
Ces résultats sont contenus dans la proposition qu’on trouvera énoncée au numéro 
suivant. 
On verra que c’est une proposition d’une grande généralité. Mais, quoiqu’elle soit 
beaucoup plus générale que celle que j’ai établie dans le Mémoire précédent, la méthode que 
j’y ai employée suffira pour en donner la démonstration. Il n’y aura, à cet effet, qu’à modi¬ 
fier convenablement l’évaluation de certaines limites supérieures et à s’appuyer sur une pro¬ 
position, dont quelques cas particuliers se sont déjà présentés dans le Mémoire précédent. 
Cette proposition, qui jouera dans ce qui suit le rôle de lemme, est ainsi conçue: 
Soient 
I H III 
X , X , X , ... 
une suite de nombres positifs et f (x) une fonction quelconque dont les valeurs 
/V), /V), Л®"), .. • 
sont toutes positives. En posant, d'une manière générale , 
F (%) -+- F(x") -h F(x") -+- . . . = 2 F (*) 
et en entendant par f m, n des nombres quelconques vérifiant les inégalités 
l > m > n > 0, 
on aura 
(2 «*)*T n < ( 2 а*)*Т и (2 a*)*T” 
Il est bien facile de l’établir. 
A cet effet, on commencera par le cas où l, m, n sont des entiers. Dans ce cas, l’ex¬ 
pression 
( 2 m p ( 2 m P - ( 2 m * p 
