Nouvelle forme du théorème sur la limite de probabilité. 
3 
se présentera sous forme d’une somme multiple, et pour établir qu’elle est toujours positive, 
il n’y aura qu’à effectuer certaines transformations qui se présentent d’elles-mêmes et à s’ap¬ 
puyer ensuite sur la proposition connue que, pour des quantités positives, la moyenne géomé¬ 
trique ne surpasse jamais la moyenne arithmétique. 
Cela étant établi, on étendra le lemme au cas où Z, m, n sont des nombres rationnels 
quelconques, en ramenant ce cas au précédent, et dès lors il sera facile de l’étendre au cas 
général, où Z, m, n sont des nombres arbitraires. 
Le plus fréquemment nous aurons à nous appuyer dans la suite sur le cas particulier 
suivant du lemme : 
Si Гоп a 
'S f(x) = 1 , 
on aura 
toutes les fois que le nombre positif m est plus petit que Z. 
2 . Avec les notations définies plus haut, la proposition que nous allons établir peut 
s’énoncer ainsi: 
« 
Étant désignés par 8 un nombre positif et par d. Vespérance mathématique de la quantité 
I /» |2—I—5 
\x. — a. , 
I i i 1 » 
toutes les fois qu'il existe des valeurs fixes de 8, pour lesquelles le rapport 
(f?i *+■ ~+- . . . 4- dpi) ^ 
(a, -»- a 2 a n ) 
tende vers zéro, lorsque n croît indéfiniment , la 'probabilité des inégalités 
*x < 
ж,— a, -4- x 2 — a 2 -*-• •• Ж п — a n ^ „ 
V 2 (я, —i- a 2 -t- ... -+- a n ) 
tendra , pour n — oo, vers la limite 
Vit 
e~ z2 dz, 
J 
Z 
et cela uniformément pour toutes les valeurs de z x et z 2 > z v 
i* 
