Nouvelle forme du théorème sur la limite de probabilité. 
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entraîne celle-ci 
lim 
n = 00 
(d t ■+■ d 2 -f- f / w ) 2 _ q 
(a L a 2 ... -h a n ) 2 ^' ^ 
tandis que la conclusion réciproque, en général, ne sera pas vraie. 
3. Pour élucider complètement la nature de notre proposition, nous devons faire 
deux remarques. 
En premier lieu, nous remarquerons que cette proposition n’exige point que les quan¬ 
tités d t existent, quel que soit 3 : il suffit qu’elles existent seulement pour des valeurs assez 
petites de S et que, parmi ces valeurs, il s’en trouve pour lesquelles la condition indiquée 
dans son énoncé soit remplie. 
En second lieu, il importe de remarquer que la condition de cette proposition est de 
telle nature que, si elle est remplie pour une valeur donnée quelconque de 3, elle le sera 
aussi pour toutes les valeurs plus petites. 
Pour établir ce point, nous remarquons que, si les quantités cl. existent pour une 
valeur donnée de S, elles existeront aussi pour toute valeur plus petite 1 ). 
Soient donc ß un nombre positif plus petit que 3 et b { l’espérance mathématique de la 
quantité 
\x. — a.| 2_,_ P. 
\ l ІІ 
En vertu de notre lemme, il viendra 
(b 1 -+• b 2 -+- . . 8 (a x -+- a 2 -t- . . .h- aj 8 ^ (d l -t-d 2 -+-. . . -t- d n f, 
et de là on déduit 
/ (b t -4- b 2 —H b w ) 2 \ p / (d x -H d 2 -t- . . . -h d n ) 2 \ 
\ ( a i ■+■ a 2 « n ) 2H 13 / \( a i n 2 a n 
ce qui prouve bien l’exactitude de notre assertion. 
Donc, quoique dans la proposition le nombre 3 ne soit assujetti à aucune restriction, 
si ce n’est qu’à être positif, dans la démonstration on pourra se borner à des valeurs de 3 
qui ne surpassent pas une certaine limite, et cette limite pourra être choisie d’une manière 
arbitraire. 
Cela posé, abordons la démonstration. 
1) On peut démontrer, en toute généralité, que l’existence de l’espérance mathématique de x k , x étant une 
variable positive et A* un nombre positif donné quelconque, entraîne l’existence des espérances mathématiques de 
toutes les puissances positives de x qui sont inférieures à A. 
