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A. Liapounoff. 
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Or, les nombres x et X n’étant assujettis qu’à la seule condition d’être positifs, nous 
pouvons poser 
X 3e 3 ! E 
Ÿ2= H l0g 
= (з log f) \ 
en entendant par E un nombre fixe quelconque qui surpasse les valeurs considérées de e. 
Alors il viendra 
At 6 a / о E \-1 
x 2 - M-l ( 3 e J ! 
et les quantités (10) tendront bien vers zéro pour £ = 0. 
La possibilité d’obtenir pour O une expression qui tende vers zéro pour e = 0 étant 
ainsi prouvée, nous pouvons regarder notre proposition comme démontrée; car l’inégalité 
|Д| < n, 
qui a lieu, quels que soient e x et z 2 , et dans laquelle le second membre ne dépend point de 
ces nombres, fait voir non-seulement que, dans les conditions de la proposition, Д tendra 
vers zéro pour n = о о, mais encore que cette quantité tendra vers zéro uniformément 
pour toutes les valeurs de et z 2 > z x . 
9 . Il importe de faire quelques remarques au sujet de l’ordre de Q dans les supposi¬ 
tions que nous avons faites à l’égard des nombres x, X, 1 et t, . 
En vertu de ces suppositions, on trouve 
2+8 
où Q' est une quantité de l’ordre de 
£* ( lOg ~ J. 
Ou voit donc que, si S < 1,0 est de l’ordre de e 35 et, si S = 1, O est de l’ordre de 
s 3 log f. 
Quant à l’ordre de e, il dépendra, en général, du choix de 8, mais, dans tous les cas, 
il sera au plus égal à celui de n~ K 
Pour établir ce dernier point, il n’y a qu’à remarquer qu’en vertu du lemme (cas par¬ 
ticulier) 
