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Nouvelle forme du théorème sur la limite de probabilité. 
Alors nous aurons 
ÛCj OCj OCg - . . . - OC, 
Я| - Cl 2 - Яд - ... Я j 
C?j - б/ g - б^д - . . . —— бІ/, 
a, я, d étant les espérances mathématiques respectivement de 
et il viendra 
x, (x — a) 2 , \x — a| 2 , 
(^ + 4 + .,, + d n ) 2 _ d 2 d 
(fl] + Я2 • • • ■+* ci 2 ~*~^ 
On voit donc que la condition de la proposition sera remplie, quel que soit le nombre 
8, pourvu qu’il existe la quantité correspondante d. 
Par suite nous arrivons à cette proposition : 
Étant désignés: par a Vespérance mathématique de x , par a celle de {x —a) 2 et par z x 
et z 2 > z x deux nombres donnés quelconques , la probabilité pour que la moyenne arithmé¬ 
tique des valeurs de x dans n épreuves soit comprise entre les limites 
a 
et 
a 
2 a 
n 
tendra , pour n — 00 , uniformément vers 
toutes les fois qu’il est possible d’assigner une valeur positive de 0 , si petite qu’elle soit , pour 
laquelle il existe l'espérance mathématique de la quantité \ x —a| 2 ^ 5 . 
XI. Maintenant nous allons considérer le cas où il existe les espérances mathémati¬ 
ques des quantités 
\ T _ a \ m \ x _a Г I x _ a Г 
I X 1 [ 5 I a 2 I J I ^3 и 8 I » * ' • J 
quelque grand que soit le nombre positif m, et où, m ayant une valeur donnée quelconque, 
ces espérances ne surpassent pas une certaine limite (qui peut toutefois dépendre du 
nombre m). 
Dans ce cas, qui est celui du théorème de. Tchebychef, notre proposition générale 
conduit à celle-ci: 
