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A. Liapounoff. 
Si, pour toute valeur donnée du nombre positif m, les espérances mathématiques des 
quantités 
r, 
К—«.Г. 
* 8 — «3 Г 
restent toutes au-dessous d'une certaine limite, la probabilité des inégalités 
- U/, ■— U.I 
г . < - 1 —; 
x, — a, h- x 2 — a 2 x n — a n 
"V 2(CTj -+- 6^2 ®n) 
< 
quels que soient les nombres donnés г, et e 2 > г \ , tendra, pour n — oo, »ers limite 
1 
e * dz } 
et cela uniformément , toutes les fois qu'il est possible d'assigner un nombre positif fixe ß, si 
jjefoï gw’*7 soi^, tel que la quantité 
n* 
flj -+- 0^2 ■+* ••• ■+" Cftfi 
tende vers zéro, quand n croît indéfiniment. 
Pour établir ce théorème, où Гоп doit, évidemment, supposer ß < 1, il n’y a qu’à 
prendre 
? _ 2 (1— ß) 
0 - T“* 
Alors, si Гоп désigne la limite supérieure des quantités 
, d ^, d 3 , 
par L, il viendra 
(d, -+- d 2 
d n ) 
(aj+e 2 +... + a n ) 24 ~ â 
< L 2 
w 
f é^2 " 
«n/ ’ 
ce qui fait voir que, dans les conditions du théorème considéré, la condition de notre pro¬ 
position générale sera remplie. 
La première des deux conditions du théorème, celle qui se rapporte aux espérances 
mathématiques des quantités 
*i—<*i r. 
æ s—“ai* 
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X 3 а з I ? • • •» 
a été indiquée par Tchebychef lui-même. Quant à la seconde, qui se rapporte aux quan¬ 
tités a { , elle ne se trouve pas dans l’énoncé qu’a donné au théorème le grand géomètre. 
