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A. Liapounoff, Sue une série dans la théorie 
C’est une proposition fondamentale, dont la preuve est bien facile. 11 suffit de remarquer 
que ф (* -h u) est une solution de l’équation (1). Il en résulte, en effet, que l’expression 
ф ( x ) f (ж + й) — ф (ж -t- со) ф (ж), 
>J (Ц étant la dérivée de v fa), a une valeur constante, et que, par suite, on a 
ф (x) ф' fa h- oi) — ф (x и- ») ф' fa) = ф fa' — <■>) f (*) - + fa) ~ “)’ 
ou bieû 
[ФѴ 
to) -+- ф' {x — со)] ф (ж) — [ф (æ -н со) -+- ф (* — со)] ф (%) 0. 
On aura doue 
( 2 ) 
ф (х -+- ы) -+- ф (ж — ш) _ г, j 
ш 
A étant une constante, et en appliquant ce résultat à deux solutions indépendantes et à leur 
somme, on arrivera à la conclusion que cette constante ne dépend point du choix de la 
solution ф(гв). 
La constante A ainsi définie est ce que nous avons appelé ailleurs constante caracté¬ 
ristique de l’équation considérée pour la période со. 
On voit qu’il est bien important de savoir calculer sa valeur. Mais surtout il est impor¬ 
tant de savoir reconnaître si A est un nombre réel ou imaginaire, et dans le premier cas, 
si l’on A 2 < 1, A 2 > 1 ou A*=l; car c’est cela ce qu’il faut connaître avant tout, lorsque 
on veut savoir 5 si les solutions de l’équation proposée sont des fonctions limitées, c’est-a-dire 
telles que leurs modules restent au-dessous de certaines limites, quel que soit ж. 
Cette question peut être rattachée à la considération de l’expression de ф(ал-**о), 
n étant un entier quelconque. 
Cherchons cette expression. 
La relation (2) montre que ф(*-і-я<о) est une solution de l’équation aux différences 
finies 
v 
— 2 Av. 
• = 0 . 
Or, si l’on pose 
(a +VÄ*=i) n -U-^A 2 - D n 
2 Va 2 — î 
le cas de A' = 1 étant considéré comme cas limite, T„ vérifiera la même équation, et 
d’ailleurs T n et T n _ x en seront des solutions indépendantes. 
