DES ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES DU SECOND ORDRE À COEFFICIENTS PÉRIODIQUES. 3 
Donc, eu égard à ce que T 0 = О, Т г = 1, T_ x = — 1, on aura 
(3) Ф ( ж пы ) = T n ф (х -+- «) — Т п __ х ф ( х ). 
Si A est un nombre réel, il convient de poser: dans le cas de A 2 < 1, 
A = cos a, 
et dans le cas de A 2 > 1, 
A = т( ан ~т)* 
Alors il viendra: dans le premier cas, 
sin na 
sin a ’ 
et dans le second, 
a n — a— n 
a — a 1 
De là on tire cette conclusion : 
Si A est un nombre réel vérifiant l’inégalité A 2 < 1, toutes les solutions de l’équation (1) 
seront des fonctions limitées. Si A 2 > 1, toutes les solutions, autres que y= 0, seront, au 
contraire, illimitées, et la même chose aura lieu dans le cas où A est un nombre imaginaire. 
En ce qui concerne le cas de A 2 = 1, on aura toujours des solutions limitées; mais on 
pourra aussi avoir celles illimitées. 
Dans ce cas il viendra 
r n = (± 1 Г-Ч 
où l’on doit prendre celui des deux signes qui appartient à A , et la formule (3) se réduira à 
ф (x ww) = (± 1)" ф (®) (rfc 1) П_Ь1 [ф (ж + со) + ф (я)] n. 
De là on voit que, si la fonction 
(4) ф {x -f- w) =p ф (x) 
n’est pas identiquement nulle, la solution ф(а;) sera illimitée; mais la fonction (4), qui est 
encore une solution, sera limitée, puisque, cette fonction étant désignée par Ѳ ( x ), la re¬ 
lation (2) donne 
Ѳ (x ü) = ± Ѳ ( x ). 
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