4 A. Liapounoff, Sur une série dans là théorie 
Il pourra d’ailleurs arriver que toutes les solutions vérifieront la relation 
ф (® •+- «) = ± ф (ж). 
Il n’y aura alors que des solutions limitées. 
On voit donc que le cas de A 2 = 1 exige une discussion complémentaire, tandis que 
dans tous les autres cas la question se résout immédiatement. 
Lorsque, pour l’équation proposée, on a A 2 = 1, il est en général très difficile de le 
constater. C’est de quoi provient la principale difficulté de la question. 
Mais ce cas ne se présentera que très rarement, et le plus souvent on se trouvera dans 
l’un des autres cas, ce que l’on pourra toujours reconnaître en calculant A avec une approxi¬ 
mation suffisante. 
Si la fonction p est réelle, la constante A le sera aussi, et ces derniers cas se leduiront 
à deux: A 2 < 1 et A' 2 > 1. 
Dans ce qui suit, nous proposons une méthode pour les reconnaître, lorsque la fonction^ 
ne devient jamais négative. Cette méthode réussit toujours, à moins que 1 on ne se trouve 
dans le cas de A 2 = 1. 
' 
2. Pour le calcul approximatif de la constante caractéristique on peut proposer plu¬ 
sieurs méthodes, plus ou moins expéditives suivant les cas, et entre autres, on peut signaler 
divers développements de cette constante en séries. 
Or, parmi ces séries, il y a une qui mérité une attention particulière. C est cette séiie 
que nous allons considérer ici. 
Soient f[x) et 9 (:r) deux solutions de l’équation (1), définies par les conditions suivantes: 
f ( 0 ) = 1 , f\ 0 ) = 0 ; 9 ( 0 ) = 0 , 9 ( 0 ) = 1 . 
La relation (2) donnera 
2 A — f(w)-Hf(— со). 
Or il est facile de prouver que l’on a 
f(—«) = ?(«)• 
En effet, la fonction 
y (со) f {% -+- со) — f' (со) 9 (x h- со) 
est une solution de l’équation ( 1 ), et cette solution se réduit, pour z = 0 , à 1 , puisque l’on a 
f (я) 9 / (z) — 9 {x) f\x) = 1 , 
