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A. Liapounoff, Sur une série dans la théorie 
De ces développements, en posant p. = 1, on déduit 
f (x) — 1 — f l (#) f 2 ( x ) /3 ( ж ) • • • 1 
9 (a0 = x — o l (x)-i- 9 2 (ж) — срз(ж) 
Par suite, si Гоп pose 
+ = 2 A n’ 
on aura cette expression pour A: 
(6) A = 1 — A x A 2 — A 3 , 
le terme général étant (— \ ) n A n . 
Nous avons déjà considéré cette série dans le Travail intitulé Problème général de la 
stabilité du mouvement , où nous en avons déduit certaines conclusions à 1 égard de A , en 
supposant que la fonction p ne change jamais de signe. 
On voit que, si cette fonction est négative, les termes de la suite 
Ац A 2 , A 3 , A i} ... 
seront alternativement négatifs et positifs, de sorte que la série (6) aura tous ses termes 
positifs. On aura donc, dans ce cas, toujours A > 1. 
Si, au contraire, la fonction p est positive, les A n le seront aussi, et les termes de la 
série (6) seront alternativement positifs et négatifs. D’ailleurs, à partir d’un certain rang, 
ces termes iront constamment en décroissant en valeurs absolues, comme le montre 1 inégalité 
qui a été établie dans le Travail cité *). 
Par cette inégalité on voit que, si A x <2, on aura certainement 
A x > A 2 > A 3 A 4 .. . , 
par suite de quoi il viendra 
1>A>1—A X , 
et Гоп aura A 2 < 1. 
*) Comme on le verra dans la suite, on peut obtenir une inégalité analogue qui donne, pour , 
limite supérieure plus précise. 
