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A. Liapoünoff, Sur une série dans la théorie 
Pour W= 1, cette formule, qui contient alors une intégrale double, se réduit à 
•> 0 
Une semblable réduction est possible aussi dans le cas général, l’intégrale multiple 
d’ordre 2w, qui figure dans la formule (9), se réduisant toujours à une intégrale d ordre n. 
En effet, reportons-nous aux formules (8) et, en remarquant que les intégrales qiu y 
figurent peuvent être considérées comme celles étendues aux valeurs des variables x x , 
x . . ., x vérifiant, si x > O, les inégalités 
X > x x > Я 2 > . • • > я 2 „ > ° 
et, si x <C 0, celles-ci 
x < х г < x 2 < ... < % 2n < 0, 
effectuons l’intégration, pour f n (x), par rapport aux variables x li . . - , ® 2rl _ x et, pour 
par rapport aux variables , * 4 , .. ., * 2n . Alors, en introduisant pour les n variables 
qui restent la notation x n x s ,. . ., x n , nous obtiendrons 
r x 
C x i 
Pl dx, 
V% dx g... 
J о * 
0 J 
X n — 1 
(æ *,H*i — %,},■■■ — x r) P n dx„, 
?»'(*) = 
r x 
л 
Pl dx l 
p 2 dx 2 ... 
J о 
0 ^ 
*£-n-1 
(x { x 2 ) (x 2 x z ). . . {x n — x x n ) % n Pi 
clx„ 
Par suite, nous aurons 
( 10 ) A 
pÜ) 
Pl dx x 
Pz dx 2 ... 
J 0 ~ 
0 d( 
r x n —l 
(to— ( Ж і ( Ж 2 • • • ( Ж и — 1 X r) Pn 
Si l’on introduit la fonction 
\ P dx = P{x) = P, 
on pourra obtenir, pour A n , encore d’autres expressions sous forme des intégrales d’ordre n. 
On les obtiendra, en effectuant les intégrations dans les formules (8) par rapport à n variables 
quelconques dont les indices diffèrent entre eux au moins de deux unités. 
