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A. Liapounoff, Sur unk série bans la théorie 
On pourrait présumer que la limite supérieure précise de cette espèce fût donnée par 
l’expression 
(13) 1.2.3. .(2n — l)2n ( w j 0 ^ ^ X ) ’ 
Mais il ne nous a pas réussi à le démontrer d’une manière générale, et nous ne pouvons 
l’affirmer que pour les deux cas les plus simples, ceux de n = 2 et de n= 3. 
Tout revient à prouver que l’expression ci-dessus est une limite supérieure pour A n . 
Or. dans le cas de n= 2, on le prouve aisément en partant de la formule 
„(О Л.Ж 
A — — 
2 
V 
dx j (ü — P, 
•J 0 
Рг) (A ^V) 
En effet, on en déduit 
.10 
4 = û 
Px dx — 
CO 
P 2 dx -+- y 
P dx — ^ ü Pdæ, 
ce qui, en posant 
„(0 
г- 
CO 
P — O—-) dx 
O) 1 
P — O — ) dx 
(0 ) 
= p, 
peut être présenté sous la forme 
De là, en remarquant que P ne peut jamais être négatif, on conclut 
(14) Л<^ 1о2й2 ’ 
et le second membre de cette inégalité n’est autre chose que l’expression (13) pour 
n = 2. 
Le cas de n = 3 présente plus de difficulté, et nous le traiterons plus tard. 
