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A. Liapounoff, Sur une série dans la théorie 
l’intégrale multiple d’ordre n -+- m étant étendue à toutes les valeurs des variables x v x v - ., 
x , qui satisfont aux inégalités 
m > X x > Ж 2 > . . . > X n > O, 
(iô) 
ш ^ X n-*-\ '' > X n-t-2 ^ X n -»-m ^ 
Or cette intégrale est égale à la somme des intégrales de la même forme qu’on obtient 
en supposant que chacune des variables 
X n-+-\ ’ X n-*-2 ’ ■ • *’ X n-*-m 
se trouve dans l’un des intervalles 
(0,x n ), (x n , x n _J, K»“)» 
et en faisant, à cet égard, toutes les hypothèses compatibles avec les inégalités (15). 
Considérons une de ces intégrales et permutons y les notations des variables de telle 
manière que le champ de l’intégration soit exprimé par les inégalités 
CO $2 ^ X n-t-m 
Nous aurons alors, pour cette intégrale, une expression de la forme 
dx x 
[• x m-*-n —î 
dx n 
\j î > j 
J O 
2 ’ 
ij [*D 
2 ) 
9 
" ОТ 
] ЙЖ, 
т-+-п 
i L . г étant des nombres inégals de la suite 
1 ? 2 * ' m 
1 , 2 , 3 , ..., nsr-m, 
rangés dans l’ordre croissant, et j v , j n les autres nombres de la même suite, rangés 
aussi dans l’ordre croissant. 
En faisant toutes les suppositions possibles à l’égard des nombres i lt i a , . . ., i m , nous 
aurons toutes les intégrales en question, et leur somme représentera notre intégrale primitive. 
De cette manière nous obtiendrons 
4 ЛА = 
r w 
f æ i 
dx j 
dx 2 ... 
J о * 
0 J 
r x m-+-n —i 
[®1> 
J üi» 3 
2’ 
j I dx 
J ni 
m -*-n ’ 
où la somme est étendue à toutes les combinaisons possibles de «+« nombres de la suite 
1 2 3 , ш h— fi pris m à w, les nombres de la combinaison représentant les valeuis 
i 
