DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES DU SECOND ORDRE À COEFFICIENTS PÉRIODIQUES. 17 
Nous remarquons maintenant que chacune des sommes, qui figurent dans ces expres¬ 
sions, peut se réduire à un seul terme, ce qui aura lieu, pour quelques-unes d’entre elles 
toutes les fois que, parmi les nombres 
? 2 
* J h 
Э 2 J 
1’ 
' > j 
ni 
il s’en trouve qui soient éguax à 1. 
Dans ce cas, le numérateur et le dénominateur au moins d’une des fractions 
^"'n •••>/» auroût ^ es facteurs communs, et, si l’on désigne par g le nombre des 
termes égaux à 1 dans la suite 
h hi h h 1 •••? h — i m 
et par h celui des termes égaux à 1 dans la suite 
^2 Л> h 3 2 1 * * •) h - j n 1 
les termes de la première fraction auront g facteurs communs et ceux de la seconde Ji. 
Ces fractions seront donc réductibles, et il est facile de voir qu’après la réduction 
complété le nombre des facteurs au dénominateur sera le même pour les deux fractions, en 
d’autres termes, que l’on aura 
m — g ~ n — h. 
En effet, introduisons la notation 
■h = 4 , 
• 1 2 - Ö % J 
K étant considéré comme une certaine caractéristique du nombre i s dans la suite i v i ..., 
У et > en P osant m 9 — h désignons par oq, a 2 , ..., oq ceux-là des nombres i s , pour lesquels 
4 > L 11 est évident que, si l’on considère tous les nombres contenus dans les intervalles 
(oq, cq -+- ой,), (a 2 , a 2 -г-о a 2 ), . (а ( , а г -ь§а г ), 
sans y compter les cq et les oq -+- ooq, ces nombres ou leurs résidus positifs suivant le mo¬ 
dule m-t-n donneront tous les nombres du groupe (? 1} y 2 , ..., j n ). Par conséquent, on aura 
(ocq 1) ■+■ (§a 2 — 1) -t- . . . h- (8oq — 1) = n, 
( 0a i — 2) -i- (Sa 2 — 2) h- ... -f- (8oq — 2 ) — h, 
et de là il vient n — h = l. 
Cela posé, effectuons la réduction de nos fractions. 
Зап. Фаз.-Мат. Отд. 
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