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A. Liapounoff, Sur une série dans la théorie 
Ainsi la somme (17) se représentera par 
I \ J ^2 5 * * * ’ \ l } ' 
Cela posé, considérons tous les termes de cette somme, pour lesquels la suite 
a v a 2 , ..., a k ne contient pas le nombre 
On obtiendra ces termes en faisant successivement les deux suppositions suivantes : 
1) p 2Z ^ = \, 
2 ) *+■ m n > 
De là on voit que l’ensemble de ces termes ne sera autre chose que l’expression 
Pareillement, il est facile de voir que l’ensemble des termes de la somme (17), pour 
lesquels la suite a v a 2 , ... , a k ne contient pas le nombre se représentera par 
et que, en général, l’ensemble des termes, pour lesquels 'k s manque dans cette suite, coïnci¬ 
dera avec 
. . , ^21} * 
D’après cela on peut conclure que les termes de la somme (17), qui correspondent à un 
ensemble donné des nombres a v « 2 , ..., a k , se trouveront tous parmi les termes de la somme 
} й, , a 2 , • • •) } j 
et que, par suite, on obtiendra ces termes, en attribuant aux indices c v c 2 , ..., c k dans 1 ex¬ 
pression 
des valeurs, vérifiant les inégalités 
a l <c 1 <a 2 <c,<...< a k < c k <a x +m + n. 
( 19 ) 
On voit donc que l’on aura toujours : ou bien 
< b, < a, < b 2 < . . . < a k <\, 
