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A. Liapounoff, Sur une série dans la théorie 
En considérant d’abord ces derniers termes, nous obtenons, pour leur somme dans l’ex¬ 
pression ci-dessus, , . 
F (n -+- 1) (n -+- 2).. . (» -+- m) 
^ 1 . 2 . 3 ...m 5 
car le nombre des termes de l’expression S est celui des combinaisons qu’on peut former de 
п-л-т éléments m à m. 
Passant ensuite aux termes de la forme (18), nous remarquons que chacun d’eux sera 
répété dans l’expression S autant de fois qu’il y a de suppositions distinctes sur les nombres 
i 2 , ..., i m , dans lesquelles la suite 
( 21 ) 
^3 5 • * * ) \l 
contienne tous les nombres a v a 2 , ..., a k . 
Soit N le nombre de ces suppositions. 
a i, «25 a k 
En introduisant la notation connue 
g (g-l)(g-2)...(g —r-»-l) __ çir) 
' 1 , 2.3 ...r " 9 ’ 
nous aurons 
D b D b2 ... D bk 
S =2 c:i n 2 N Oi, “U -» ч D Ui Da 2 ... D a/c ’ 
lc = l 
où la seconde somme est étendue à toutes les suppositions possibles qu’on peut faire sur 
les nombres 
cq, ®2> 
a 
'kl 
• 1 
appartenant à la suite 1, 2, 3, ..., m-+-n, en les assujettissant successivement à chacune 
des deux conditions (19) et (20). 
Reste à calculer le coefficient qui dépendra, comme nous verrons tout de 
suite, non pas des valeurs des a s , mais seulement de leur nombre h. 
En nous arrêtant à un groupe déterminé des nombres a v a v ..., a k , considérons toutes 
les combinaisons possibles (i v i 2 , ..., ij conjointement avec les combinaisons correspon¬ 
dantes (j i, j 2 , . .., jj , et toutes ces combinaisons partageons en diverses classes suivant le 
mode de la distribution des nombres a v a 2 , ..., a k entre les deux groupes (i v i 2 , ..., ij et 
(in i 2 > .. •, j n ). Comme chacun des nombres a s peut appartenir à chacun de ces deux giou- 
pes, le nombre de tous les modes de distribution et, par suite, aussi des classes sera égal à 2 . 
Cela posé, considérons un mode de distribution quelconque et voyons, combien y a-t-il 
de combinaisons (i v ij de la classe correspondante qui remplissent cette condition 
que la suite (21) contient chacun des nombres a v a v ..., a k . 
