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A. Liapounoff, Sur une série dans la théorie 
li. Nous venons de montrer que le rapport 
décroît constamment, lorsque n augmente. 
Il en résulte que, si, pour une valeur quelconque de w, on a A n <A n _ lf on aura cer¬ 
tainement 
^ ^n- 4-1 ^ ^ИН- 2 ’ 
Par suite, si, en calculant successivement A v A 2 , A 3 , . . ., on parvient à un terme A n 
qui ne surpasse pas le précédent A n _ v on pourra conclure que la valeur de A est comprise 
entre les limites 
1— A 1 -t-A 2 — A 3 ~ —1)" 1 А п _ х 
et 
1-А 1 ч-А 2 — А 3 -+- . . . l)"- 1 А п _ г и- (- 1 fA n , 
et que les calculs ultérieurs conduiront à des limites de plus en plus resserrées. 
D’ailleurs, si l’on pose 
A = 1 — A 1 -t-A 2 — A a - 1- ... -+-(— 1 ) n (A n — B n ), 
on aura, d’une part, 
et d’autre part, 
B n < A- 
-i’ 
л »>о. 
7? A _ A 
Ml n ' ^n-h- 2 ’ * * * > 
d’où l’on pourra tirer des conclusions utiles, sans pousser le calcul au-delà du terme A , si 
l’on connaît des limites supérieures et inférieures des termes 
1 fi-4-1 > 
A 
fi-4-2’ 
ПЧ-3’ 
Par exemple, si l’on se sert de l’inégalité (27), on pourra conclure 
Л n ~ 1 ^” 2 
П ^ 
n A n _ x > 
et l’on aura 
Ѳ étant une quantité comprise entre 0 et 1. 
