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A. Liapounoff, Sur une série dans la théorie 
Pareillement, si, n étant pair, on a 
(30) 1 — « — A 1 -+-A i — A s -+-. . . h- ( 1 f A» 5s °? 
on pourra conclure A < a. 
Nous avons supposé A n ^ x >A n ^ 2 , condition nécessaire pour que les conclusions ci- 
dessus soient légitimes. Mais, dans certains cas, cette condition sera déjà impliquée dans cel¬ 
les (29) et (30). 
Tel sera, par exemple, le cas où le nombre a est compris entre — 5 et -+- 1. Dans ce 
cas, la condition (29) ou (30), suivant que n est impair ou pair, entraînera non-seulement 
l’inégalité A M > A n4 _ 2 , mais encore, si w > 1, celle A n _ x > A n et, pour n — 1, celle 
A l >A i . 
En effet, d’après ce que nous avons remarqué au numéro précédent, on ne peut avoir 
A 2 > A x que si l’on a A x > 6, et d’autre part, l’inégalité A n > A n _ lt pour n> 1, entraîne 
celles-ci : 
A 1 <C A 2 <C • • • <C A n . 
Donc, si l’on avait A n > A n _ x , pour w>l, ou A 2 > A v pour n = l,le premier 
membre des conditions (29) et (30) serait, dans le cas de n impair, inférieur à — a — 5 et, 
dans celui de n pair, supérieur à 1 —a, et aucune de ces conditions ne pourrait être remplie 
pour les valeurs considérées de a. 
Par suite, dans le cas que nous venons de signaler, la condition (29), n étant impair, 
assure toujours l’inégalité A > a et celle (30), n étant pair, assure toujours l’inégalité A < a. 
Donc, en posant a = ± 1, on а cette proposition : 
Toutes les fois que, pour une valeur quelconque de n dans la suite 1, 2, 3, ..., 
on trouve: — A x h- A 2 — A 3 -+-. . . -+-A 2n 0, on aura A + 1 5 
» » 2 — A 1 -*-A t —.. . A m _ t >0, » » — 
» » 2 — A x —h A 2 — • • • A 2n 0, » » A <C. 1 » 
»' » — A x -^A 2 — — A 2n _ t _ l >0, » « M>-h1. 
13. La proposition que nous venons d’énoncer conduit à une méthode pour décider si 
A se trouve dans l’intervalle (— 1, н- 1), ou non. 
Pour résoudre cette question, on commencera par calculer A v Alors, si l’on trouve 
Д <2, on sera certain que 
— 1 <A< 1. 
