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A. Liapounoff, Sur une série dans la théorie 
on aura A < 1 , et la question sera résolue. Dans le cas contraire, on calculera A y Si Гоп 
trouve alors 
A b 5 C A 4 A 3 -+- A 2 A , 
on aura A > 1. Si, au contraire, on a 
A A A + A A» 
on calculera A 6 , et Гоп continuera les calculs jusqu’à ce qu’on parvienne à une inégalité de 
la forme 
A ^ A—1 A—2 A A> 
ce qui ne manquera pas à arriver, si A n’est pas égal à 1. Alors, si n est un nombre pair, 
on aura A < 1 et, si c’est un nombre impair, on aura A > 1. 
En ce qui concerne enfin le troisième cas, on le subdivisera en trois cas, qui se distin¬ 
gueront par la valeur de A v En posant 
A — A = A — A + i i = A 
ces cas seront les suivants : 
1) A<A — 2 > 2 ) S s— 2<A<A 3 ) A > Sa- 
Dans le premier de ces nouveaux cas la question sera résolue immédiatement, car on 
aura A <. — 1. 
Le deuxième cas se traitera de la même manière que le deuxième cas défini précédem¬ 
ment par la valeur de A a . 
Quant au troisième, on le divisera en trois cas nouveaux, qui se distingueront par la 
valeur de A b et qui présenteront les mêmes circonstances que les trois cas relatifs aux va¬ 
leurs de A* 
On voit donc que chacun des termes de la suite 
A’ A> A» • * • 
conduit à une distinction de trois cas, dont le troisième se subdivise en nouveaux trois cas, 
qui se distinguent par la valeur du terme suivant. 
11 est évident que l’on ne pourra pas se trouver toujours dans le troisième cas, et que 
Гоп finira par tomber ou sur un des premiers cas, où la question se résout immédiatement, 
ou bien sur un des deuxièmes que Гоп traitera comme il a été montré. 
