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A. Liapounoff, 
Sur une série dans la théorie 
Remplaçons maintenant Q par son expression t -+- Ѳ' (J). 
La fonction Ѳ (t) étant périodique à période 1, nous aurons 
Qdt = y, 
J O 
en vertu de quoi il viendra 
Q dt 
t Q 2 dt — y 
(1 — t)t Q 2 dt = y 
t 2 Q 2 d t. 
J о 
Pour aller plus loin, nous devons définir d’une manière précise la fonction Ѳ (t), qui n a 
été définie que par sa dérivée. C’est ce que nous ferons en admettant Légalité 
(36) 
•%1 
Ѳ($) dt — 0. 
•' о 
D’ailleurs, pour simplifier les calculs, nous supposerons 
Ѳ(0) = Ѳ(1) = 0. 
C’est une restriction; mais nous verrons qu’elle n’a rien d’essentiel. 
Cela posé, on trouve facilement 
r 1 
t Q dt — y » 
J O 
I« 1 
Q 2 dt = y 
Q ' 2 dt, 
„1 
t 2 Q 2 dt = 4- — 6 
t 2 Ѳ dt 
J O 
t 2 Ѳ' 2 dt, 
ЛІ 
Q 1 àt x 
(éj ^l) Qi dt% 
30 
t 2 Ѳ dt 
(d 2 dt, 
■»*1 
Qi dt 
J 0 
{Q-2 Q\) Q‘. 2 30 4 
t 2 Qdt -+- 2 
Q 2 dt + 4r 
Ѳ' 2 dt 
/Л 
P Ѳ' 2 dt — 2 
ѲѲ' 2 dt, 
о 
0 
