DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES DU SECOND ORDRE À COEFFICIENTS PÉRIODIQUES. 
et d’après cela il vient 
(37) 
a 3 — 720 
12 
•»1 
г 1 Г 
Ѳ' 2 dt H 
і 
<м 
0 
cq 
1 
Jo 
d 0 d( 
41 
Nous avons établi cette formule dans la supposition que Ѳ (0) = 0. Mais il est facile de 
s’assurer que la formule est exacte quelle que soit la valeur de Ѳ (0). 
En effet, la constante caractéristique de l’équation 
g-»-f xp(x-t-c)y = 0, 
c étant un nombre constant quelconque, est la même que celle de l’équation 
' — °- 
Donc, en considérant le développement de cette constante suivant les puissances du para- 
mètie (a. on parvient à la conclusion que la valeur de A n ne change pas, si l’on remplace, 
dans son expression, p(x) par p(x-t~c). 
De là il résulte que la valeur de a 3 ne sera pas changée, si l’on remplace la fonction 
Ѳ (t) par Ѳ (t -+- a), oc étant une constante arbitraire. 
Cela posé, prenons pour a une des valeurs de t qui annulent la fonction Ѳ (t), et dont 
l’existence est assurée par la condition (36). Nous aurons pour a 3 une expression qui s’ob¬ 
tiendra en remplaçant dans celle (37) la fonction Ѳ = Ѳ (t) par Ѳ(іч-ос), et comme, dans 
cette expression, les intégrales ne porteront que sur des fonctions périodiques, nous pour¬ 
rons supprimer a sans changer les valeurs des intégrales. Nous retrouverons donc la for¬ 
mule (37). 
1T. En partant de la formule (37), on peut établir que l’expression (13) pour n = 3 
représente une limite supérieure pour A 3 . 
Tout d’abord nous remarquons que l’intégration par parties donne 
■»i pi 
ѲѲ' 2 dt = —y Ѳ 2 Ѳ" dt . 
'0 do 
Par suite la formule (37) peut être présentée sous la forme 
а з = т— ïî f 0 ' 3 ^ + l [ ѳ 2 ^-н| f 0 з (ѳ"+і )dt, 
J 0 do do 
Зап. Физ.-Мат. Отд. 
