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A. Liapounoff, Sur une série dans la théorie 
ou bien 
(38) 
ЛІ 
J O 
en posant 
T = 
Ѳ' 2 dt — 1 8 
Ѳ 2 dt — 6 Ѳ 2 . 
Or, en vertu de la supposition que la fonction p ne devient jamais négative, on a 
puisque l’égalité 
Ѳ"+1>0, 
P (fût) = О[*ч-Ѳ'(0] 
donne 
со p (со t) = Q [ 1 -+- Ѳ (0] 5 
et nous allons maintenant montrer qu’on aura toujours 
T> 0. 
De là il résultera 
et, par suite, 
(39) 
A 0 < 
où le second membre est la valeur de l’expression (13) pour n — 3. 
Pour établir l’inégalité T>0, nous allons nous servir de la proposition connue que 
toute fonction périodique dont la dérivée est continue peut être développée en une série uni¬ 
formément convergente suivant les sinus et les cosinus des multiples de l’argument. 
En vertu de cette proposition, la fonction ®'\t) étant continue (puisque la fonction p 
est supposée continue), nous aurons, pour Q\t), une expression de la forme 
Ѳ'(<) = 2 (a ft cos 2izkt ß A sin 2т cä<)» 
les a k et les étant des constantes, et la sommation s’étendant à toutes les valeurs entières 
et positives de k, à partir de к = 1. 
