44 A. Liapounoff, Sur une série dans la théorie 
et de là, en vertu de (41), il vient T> 0. On voit d’ailleurs qu’on ne pourra avoir T= 0 
que dans le cas où la fonction Ѳ est identiquement nulle. 
18. L’inégalité (39) donne, pour A 3 , une limite supérieure qui peut être utile dans les 
considérations que nous avons développées au n° 14. 
Eu introduisant au second membre de cette inégalité la quantité A v on trouve 
Donc, si l’on a 
(43) A A c^A 3 - 1 -A 2 ’ 
on pourra conclure l’inégalité 
A A A — A H " 2 
et, par suite, celle-ci A > — 1. 
Il est d’ailleurs facile de montrer que la condition (43) assure aussi l’inégalité A < 1. 
En effet, en vertu de (28), cette condition n’est possible que si l’on a 
tA 2 >^A 3 ^A-2, 
ou bien 
(44) A* — \5A l 2 -t-90A l —180 <0, 
ce qui exige que A x ne surpasse pas le nombre 1 3,7859 ..., représentant la racine réelle 
unique de l’équation 
x 3 — 15 x 2 -+- 90 x — 180 = 0; 
et nous avons vu que pour A x <6 ou a toujours A < 1. 
Du reste il est facile d’obtenir, pour A 3 , une limite supérieure plus précise. 
En effet, l’inégalité (42), en vertu de (41), donne 
2T>( 
1 
rl 
0 
ce qui, eu égard à (35), peut être présenté sous la forme 
