46 A. Liapounoff, Sur une série dans la théorie 
où C désigne une constante et ф"(х) la dérivée du second ordre d une fonction périodique 
Ф (я) = Ф satisfaisant à la condition 
/%(!) 
Ф(ж) dx — 0. 
■' о 
Nous aurons 
ü=C7to, = 
et, par suite, 
®'№ = ій ф '(*), ®( ( ) = cîr. ф (*)- 
Donc il viendra 
et les formules (35) et (37), eu égard à ce que A n — a n C n w ' n , donneront 
«d) 
С 2 ш* 
24 
(ù 
~2 
Ф' 2 dx, 
nCO 
i(i) 
C 3 o) 6 Сю 3 
Ф' 2 dx H- 2 Ceo 
Ф 2 dx — (o 
A 3 720 12 
J 
0 
0 * 
CO 
ФФ' 2 dx. 
Telles sont les plus simples formules pour le calcul de A 2 et A 3 , dans le cas où l’on 
connaît le développement de la fonction^ en série de Fourier. Par ces formules on voit que 
A 2 se présentera sous forme d’une série simple, tandis que, pour A 3 , grâce à la présence 
dans son expression de l’intégrale 
rCO 
ФФ' 2 dx, 
^0 
on aura, en général, une série double. Mais, si cette intégrale est égale à zéro, on aura, 
pour A 3 aussi, une série simple. C’est ce qui aura lieu, par exemple, si Ф(х) est une fonc¬ 
tion impaire, ou, plus généralement, si, par un choix convenable du nombre a, on peut 
rendre la fonction Ф (a -§- x) impaire. 
Si l’on présente le développement de la fonction Ф” sous la forme 
CO 
6 * 
h=1 
. 2 nJc(x — ou) 
sin —- -- 
(ù 
î 
