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A. Liapounoff, Sur une série dans la théorie 
A cet effet, en remarquant que la dérivée de cette fonction est égale ?i 
(51) тг 2 (3а<7 2 — 26(7-4-2), 
il suffit d’établir l’inégalité 
(52) & 2 —6a<0, 
en vertu de laquelle l’expression (51) sera toujours positive. 
Nous avons 
b 2 — 6 a — X 4 -+- C y p. 2 — y [a -*- y T? — 
? 
d’où l’on voit que, pour démontrer l’inégalité (52) en général, il suffit de le faire pour les 
deux valeurs extrêmes de X 2 : O et M. 
Or, en posant X = O, on trouve 
h ‘‘— 6a = н -(тЬ г — -!) 
et, comme p. 2 ne surpasse pas 1, il en résulte 
b 2 — 
6a < 
où le second membre est, évidemment, négatif. 
Considérons ensuite l’hypothèse X 3 = M. 
En supposant d’abord p. < y, nous aurons 
X 2 = (1 -+-p.) 2 , 
ce qui donnera 
„ 25 4 1 .. /10 „ no \ 2 /16 5 97\ O o 8 2 4 4 
& 6a= le!* -^{y 71 — 28 )и- : —T)V-— 23 +T' K — 45 71 
Or il est facile de s’assurer que les coefficients de p 2 et de pi sont ici positifs. Donc 
cette expression ne surpassera pas sa valeur pour p. = y, ce qui permet de conclure 
h 2 — 6a < — 42 
311 
16-81 
130 2 
27 71 
4 4 
■ — 71 * 
45 » 
et le second membre est ici négatif. 
