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DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES DU SECOND ORDRE À COEFFICIENTS PÉRIODIQUES. 
Soit maintenant p. > y, cas où il faudra poser 
X 2 == 8p (1 — p.). 
En le faisant et en remarquant que nous aurons une limite supérieure pour b 2 —6 a 
en remplaçant dans son expression u 2 par 10 et u 4 par 97, nous obtenons l’inégalité suivante : 
b 2 
6 a < 60 p. 4 — 88 [x 3 -+- 1 2 [A 2 -+- 2 1 p. — 8 
Tër 
1 2 
"fi" F* -2 
1 
T P 
28 
45 ' 
Or, (j. étant plus petit que 1, l’expression qui figure à la deuxième ligne est, évidem¬ 
ment, négative. Nous aurons donc à plus forte raison 
b 2 ~6a< 60p 4 — 88p. 3 -f- 12p 2 -+-21p — 8, 
et le second membre se réduit ici à 
— 3[x 3 —(l — [x) 
(60p.-+- 28) (p 
7 p 2 -т- 1 
et, par suite, est négatif. 
Donc l’inégalité (52) est établie. 
Ayant ainsi démontré que le premier membre de la condition (50) est une fonction 
croissante de G, nous pouvons conclure que cette condition est équivalente à celle-ci 
тг 2 С < X, 
où x désigne la racine réelle unique de l’équation 
(53) ax 3 — iz 2 bx 2 '-*- 2tx*x — 2tt 4 — 0. 
Il est facile de s’assurer que x est toujours plus petit que 2. 
En effet, le premier membre de l’équation (53) étant désigné par f(x), on trouve 
№ = I it* — (L - 2) (X» -ь (32 H- 611 - A ч ! ) X”, 
et cette expression, pour les valeurs considérées de p., est toujours positive. On a donc 
f( 2) > 0, et de là, f(x) étant une fonction croissante, on conclut bien x < 2 
Ainsi on voit que, sous la condition (50), on aura toujours 7i 3 (7< 2, et que, par suite, 
A l sera plus petit que 4. 
De là, eu égard à ce qui a été remarqué au n° 11, il résulte que sous la condition con¬ 
sidérée on aura non-seulement A > — 1, mais encore A < 1. 
