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A. Liapounoff, Sur une série dans la théorie 
23. La quantité x est une fonction de X et p., et nous allons maintenant cheicher les 
valeurs extrêmes de cette fonction, X et p. étant toujours assujettis aux conditions (48). 
En ce qui concerne la plus grande valeur de x, il est facile d établir qu elle conespond 
à la supposition 
X = О, [л=±1. 
En effet, soient f x {x) et x x ce que diviennent dans cette supposition f(x) et x. Nous 
aurons 
f(x) = f l (x) h— [ti 2 
■TC 
2 — 4 
I х 
X 
h- I [(4 
7Г 
3 —-llï 
et, comme on a O, il en résultera 
a x,) = p - (4 - 4 - 4 p) x, j xv -h a [(4 * -1 ) x, -j 
(1 — M- 2 ) ^ 2 . 
Or nous venons de voir que x est toujours plus petit que 2. Donc on aura x, <C 2, et 
en vertu de cela le terme en X 2 dans la formule obtenue sera toujours positif. 
D’autre part, on peut établir que 
(-|тг 2 — і)х г — Tl 2 > 0. 
A cet effet, la fonction f x {x) étant croissante, il n’y a qu’à établir l’inégalité 
et on le fera aisément en remarquant que 
fl 0*0 = 
— тс 2 -+- 
6 4 
ïj*' 
TT 2 tc 2 — y) Ж 2 -+- 2тс 4 (æ - 1), 
d’où il vient 
2it 4 
1Г 
D’après cela l’expression ci-dessus de f(x x ) permet de conclure 
f(x,)> O, 
et cette inégalité fait voir que l’on aura toujours x<x 15 ce qui prouve bien notre assertion. 
