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A. Liapounoff, Sur une série dans la théorie 
On a donc 
ѳ'(— 1) < о, Ѳ'(і) >°> 
ce qui fait voir que l’équation Ѳ» = 0, qui est du second dégré en p, a une racine dans 
l’intervalle (— 1, h- y), et que, cette racine étant désignée par p 0 , on a 
O'([x)<0, si 
Ѳ г (р.)>0, si 
1 < [A [Aq; 
Po P ^ 3 • 
Soit maintenant ja > y. 
Nous aurons M = 8(a (1 — p) et, par suite, 
%) = 8 
71 
— -TT 2 
3 
4 — y [a^ x ] (1 — 2 p) -+- 6 |a ( 1 p.) x 
TC“ 
— 4 tt 2 —1 \X 
P- 
p our J_ on en déduira la même valeur que précédemment, ce que l’on voit im- 
r" 3 
médiatement par l’identité 
(1 + [A) 2 — 8 (A (1 — fA) = (1 — B [A) 2 
On aura donc Ѳ'ф > 0, et l’on trouve 
ce qui est une quantité négative. 
Donc l’équation O'(p-) = 0, qui, dans la nouvelle supposition, sera encore du second 
dégré, admet une racine dans l’intervalle (y, l), et, si l’on désigne cette racine par [a m 
on aura 
e'(p.)>o, si y < p < pn 
Ѳ'(р.)<0, si p x <p< i- 
Par suite de cela on arrive à la conclusion que la fonction Ѳ (p), qui varie toujours 
continûment avec p, 
décroît, quand p croit de — 1 à p 0 , 
croît, » » » de p 0 à p x , 
décroît, » » » de pj à 1. 
