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A. Liapounoff, Sur une série dans la théorie 
26. Arrêtons-nous au cas de n très grand. 
En se servant de la formule de Stirling, on peut obtenir pour J n des expressions ap¬ 
prochées, où l’approximation pourra être poussée jusqu’à des termes de l’ordre voulu par 
rapport à K 
Telle est, par exemple, l’expression 
■rc 2 / , И V2ic \ J_ 
6 У n \ 48 Vn ) n 1 
qui diffère de J n d’une quantité du second ordre. 
Nous nous bornerons ici à une expression plus simple, celle 
тс* _ /2тг 
6 Yn 5 
pour 
pour 
(59) 
laquelle l’erreur est du premier ordre. 
A l’égard de cette expression on peut établir quelle 
J de sorte qu’on aura 
7t 2 J ^ 
~6 ~ J n < ' Yn ’ 
représente une limite inférieure 
quel que soit n. 
On peut aussi établir l’inégalité suivante 
(60) 
TC 2 _ J ^ /2ТС _ 2 _ 
T Jn ^ Y n n ’ 
qui est également exacte pour toutes les valeurs de n. 
Sans nous arrêter à la démonstration de ces résultats, remarquons seulement que nous 
les avons obtenus en partant des inégalités 
1.2.3.. .П <V2t tn n n e _n и» , 
_ _ j._i_ 
1.2.3.. .W > V2un n n e n ^ 12n 360и3 . 
Par l’inégalité (59) on voit que la condition (56) sera satisfaite toutes les fois que 1 on a 
