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A. Liapounoff, Sur une série dans la théorie 
Par suite, tant que A a < A v on aura 
oA A <T - f— — Y A* — — № 
гл х л 2 <. v - n f A \ ^ 
A l 
Yn n 
І) A 3 , 
et la condition considérée sera remplie, si 
< 63 ) ? Іл 
1 (V2n 2\ 2 i 3 2_ / Y 2tc 2^ 
П J 1 7Г 2 i f /й n 
А*ч-2А 1 — 4 <0. 
Or on voit immédiatement que cette dernière condition, comme celle (32), n’est pos¬ 
sible que si A x est plus petit que 4, ce qui entraîne l’inégalité A a < A v 
Donc, sous la condition (63), celle (32) sera toujours remplie, et nous aurons A 2 < 1. 
Cela posé et en faisant, pour abréger, 
712 Yn 
7Г1 = у 1’ 
considérons l’équation 
y) 2 x s — 2 Y] % 2 -t- 2x — 4 = 0. 
Cette équation n’a, évidemment, qu’une seule racine réelle, et, si l’on désigne cette ra¬ 
cine par x 0 , la condition (63) se réduira à 
A x <x 0 . 
Développons la racine x 0 suivant les puissances ascendantes de y], ce qui donnera 
ж 0 = 2 -ь 4 •/] -и- 12 7] 2 -u- ..., 
et arrêtons-nous à la valeur approchée 2 -t- 4vj. 
En substituant cette valeur dans l’équation, on trouve que le premier membre se ré¬ 
duit à 
— 8V (3 — 2y] — 12 V — 8Y] 8 ), 
et il est aisé de voir que c’est une quantité négative. 
En effet, l’égalité 
i _ _ _i_ f Y2 _J_ \ 2 
4^ 71 ~ ^ \Æ 2/ 
montre que l’on a yj < ^, 
d’où l’on voit que 
