rjQ a. Liapounoff, Sur une série dans la théorie etc. 
daus les Comptes rendus (t. CXXVIII, 10 avril et 1 mai 1899), elle n’en admet qu’une 
seule *). 
Pour cette racine, qui est la plus petite parmi les racines de l’équation ^-+-1=0 
(n’ayant que des racines réelles), nous obtenons ainsi une valeur approchée, savoii, 
4 Yn 8V / 2 
H - f ’ 
7C V 7Г TT a 
avec une erreur qui est inférieure à —= . 
*) En vertu de cette proposition, l’équation transcendante A 2 — 1=0 (où le premier membre est une fonction 
entière de A), quel que soit l’entier positif n, admet, outre la racine évidente A = 0, une infinité d’autres, qui sont 
toutes réelles et positives, et ne peuvent être que simples ou doubles. Ces racines, rangées dans l’ordre croissant, 
étant désignées par 
A 2 , 
à condition que chaque racine double, s’il y en a de telles racines, soit répétée, dans cette suite, deux fois, les termes 
X/ } A/' à indice i impair seront des racines de l’équation A -+-1 = 0, et ceux à indice pair, des racines de 1 équa¬ 
tion A — 1 = 0. 
D’après cela, si l’on entend par A 0 et par A, les valeurs de A pour lesquelles on a respectivement A, =x 0 , 
A,=x t , le nombre n étant supposé plus grand que 1, l’intervalle (A 0 , A,) ne pourra contenir qu’une seule racine de 
l’équation A 2 — 1—0. En effet, pour A = A 0 et A = A, , la fonction A 2 — i a des signes opposés. Par suite, l’inter¬ 
valle (A,,,/,) contient un nombre impair de racines (toute racine double étant comptée pour deux), et, comme dans 
cet intervalle onaA^i.^l, parmi ces racines, il ne se trouve point qui appartiennent à l’équation A — 1 =0. 
Donc l’intervalle considéré ne peut contenir qu’une seule racine, celle A', , et l’intervalle qui nous intéresse est com¬ 
pris dans celui (A^A,). 
