M. Hilbert forme une fonction G de deux, variables x et s, 
telle que G(x y s) considérée comme fonction de x, satisfasse à 
l’équation différentielle, qu’elle soit continue en x et en s, et 
que sa dérivée par rapport à x présente au point .s une dis¬ 
continuité définie par la relation : 
De plus G (x, s) satisfait aux conditions aux limites indi¬ 
quées. Gela étant, M. Hilbert a déduit une série de conséquences 
relatives aux solutions des équations : 
A(y) = Hy)+lÿ = o 
L (y) = r (x) 
définies par des conditions en a et en b. Le savant géomètre 
de Gœttingue démontre l’équivalence des problèmes proposés 
à la résolution de l’équation intégrale: 
et à la formule : 
y(x) = l f b G (oc, s) y (s) ds 
V a 
G(x, s) r(s)c 
a 
Si, de plus, on considère le noyau G(x,s) symétrique 1 2 et 
que l’on forme sa résolvante pour l’intervalle (a, 6), soit 
r(a?,s;X), on démontre que cette résolvante s’obtient à partir 
de A (y), comme G (x, s) à partir de L(y). On sait que cette 
résolvante satisfait à l’équation fonctionnelle : 
r(x, s ; é) — G (ix , s) = x j * G(x, t ) r(t, s ; X) 
clt 
(A) 
C’est cette propriété que nous allons généraliser pour une 
équation différentielle linéaire d’ordre n. 
Bôcher, dans un cours fait en Sorbonne en 1913-1914 , 
avait déjà étendu quelques-unes des propriétés trouvées par 
M. Hilbert pour n = 2, nous allons les reprendre pour les 
étendre à la généralisation de (A). Il nous sera nécessaire de 
modifier quelque peu la définition que Bôcher donne pour la 
fonction de Green. 
1 hoc. cil., p. 45. 
2 Leçons sur les Méthodes de Sturm. 
Collection Borel. Gauthier-Villars, 19^* 
